Frage von Monkeydissam98, 47

Besitzt jede kubische Funktion immer Nullstellen Falls ja, wie viele mindestens und wie viele höchstens ich weis das es mind. 1 und max.3 ist aber warum?

Also ich muss ein Referat zum Thema Polynomdivision machen und da hat mein Lehrer mir gesagt, dass ich diese Frage (die oben gestellt wurde) beantworten soll und erklären. Ich suche schon sehr lange im Internet aber ich finde nichts.

Antwort
von UlrichNagel, 36

Nullstellen sind ja die x-Achsen-Schnittpunkte! Eine gerade Potenzfunktion kann ober- oder unterhalb der x-Achse liegen und man spricht dann von imaginären Doppellösungen. Die Berührung der Parabel wäre eine reelle Doppellösung und Normalfall sind 2 reelle Lösungen. Der bessere begrif ist also die Anzahl der Lösungen und nur die reellen sind ja die Nullstellen! Eine kubische verläuft immer von einem oberen in einen unteren Quadranten und umgekehrt. Es gibt also mindestens 1 nullstelle aber immer 3 Lösungen.

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathe, 31

Eine kubische Funktion hat als höchste Potenz das Monom x³.

Wählen wir die Funktion f so, dass

f(x)=ax³+bx²+cx+d

mit einer positiven reellen Zahl a, dann gilt

f(x) strebt gegen unendlich für x gegen unendlich und

f(x) strebt gegen -unendlich für x gegen -unendlich.

Da kubische Funktionen zur Klasse der Polynomfunktionen gehören, sind diese stetig auf ganz IR, also schneidet der Graph von f die x-Achse aus Gründen der Stetigkeit in mindestens einem Punkt. Also hat f mindestens eine Nullstelle.

Weiter gibt der Grad von f die Höchstzahl möglicher Nullstellen an. Bei eiiner kubischen Funktion ist der Grad 3. Also kann eine kubische Funktion maximal 3 Nullstellen haben. Im Fall von genau 3 Nullstellen lässt sich f schreiben als Produkt aus Linearfaktoren:

f(x) = a(x-x1)(x-x2)(x-x3),

wobei x1, x2, x3 paarweise verschiedene reelle Zahlen sind.

Die Zahlen x1, x2, x3 sind dann die Nullstellen von f.

Darstellungen für verschiedene Nullstellenanzahl:

Fall1: Sei f(x) = a(x-x1)(x²+e) mit einer positiven reellen Zahl e. Dann hat f genau 1 Nullstelle, nämlich die Nullstelle x1.

Fall2: Sei f(x) = a(x-x1)(x-x2)². Dann hat f genau 2 Nullstellen, nämlich x1 und x2. Dabei ist x1 eine einfache und x2 eine doppelte Nullstelle.

Fall3: Sei f(x) = a(x-x1)(x-x2)(x-x3). Dann hat f genau 3 Nullstellen, nämlich x1, x2 und x3.

Antwort
von Monkeydissam98, 14

Aber ich verstehe immer noch nicht wie ich das begründen kann, dass ist alles bestimmt richtig aber ich verstehe das net sry.

Kommentar von UlrichNagel ,

Sieh dir die Potenzfunktionen unterschiedlichen Grades an! Die lineare (Gerade) hat immer 1 Nullstelle. Die quadratische (Parabel) normal 2 (2 parabeläste) oder speziell 1 Doppelnullstelle (S auf der x-Achse) oder Keine (über/unter x-Achse).

Die kubische (3. Grades) wechselt normal 3 mal ihre Richtung und kann deshalb 3 mal durch die x-Achse (3 Nullstellen) gehen. Es ist jedoch möglich, dass 2 Wechsel ausserhalb der x-Achse liegen. Dann kannst du 3 Lösungen berechnen, aber eine ist nur reell, die beiden anderen imaginär (Gegenart zu reell). Dies kannst du fortsetzen für alle Potenzfunktionen.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe, 38

Jede kubische Funktion hat mindestens eine reelle Nullstelle und höchstens drei. 

Schaut man sich das x mit dem höchsten Exponenten an (ax³), verändert das ³ nicht das Vorzeichen von x, also läuft (je nach Vorzeichen von a) der Graph entweder von -∞ bis +∞ oder umgekehrt. Da die Funktion stetig ist, muss die x-Achse mindestens einmal geschnitten werden.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 47

Eine kubische Funktion hat in R mindestens eine und maximal drei Nullstellen.

x  ^ 3 = 0 hat 3 Nullstellen, aber 3 mal dieselbe, also eine dreifache Nullstelle, nämlich x = 0

x ^ 3 - 7 * x ^ 2 + 11 * x - 5 = 0 hat an der Stelle x = 1, eine doppelte Nullstelle, also 2 Nullstellen jeweils an der Stelle x = 1 und eine Nullstelle bei x = 5

Wenn eine kubische Funktion nur eine Nullstelle in R hat, dann liegen die anderen beiden Nullstellen in C

Hat eine kubische Funktion 2 Nullstellen in R, dann liegt eine Nullstelle in C

Kommentar von Monkeydissam98 ,

Was ist R ? und ich verstehe es leider immer noch net sry

Kommentar von DepravedGirl ,

R ist die Menge der reellen Zahlen

C ist die Menge der komplexen Zahlen

Antwort
von bmke2012, 29

Ein Polynom dritten Grades lässt sich in folgender Form darstellen:

P(x) = a*(x-x0)*(x-x1)*(x-x2)

a ist dabei ein skalierender Faktor und x0,x1 und x2 sind die drei Nullstellen.

Ist x1=x0 oder x1=x2 oder x2=x0 fallen zwei Nullstellen zusammen und das Polynom hat insgesamt nur noch zwei Nullstellen im Graph.

Ist x0=x1=x2 fallen Alle Nullstellen zusammen und da Polynom hat nur eine Nullstelle im Graph.

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