Frage von maxim008, 79

Bei welchen Funktionen kann eine Divergenz beim Newton-Verfahren auftreten?

Hallo,

kann eine Divergenz nur bei trigonometrischen Funktionen auftreten (weil die ja periodisch sind und Divergenz eine ebenfalls periodische Abfolge hat) oder auch bei anderen Funktionsarten wie z.B. ganzrationale Funktionen?

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 48

1.) Bei Funktionen die gar keine reellen Nullstellen haben, dann müsste man das Newton-Verfahren mit Rechenoperationen in den komplexen Zahlen ausführen. Sind auch keine Nullstellen in den komplexen Zahlen vorhanden, dann konvergiert es gar nicht.

2.) Wenn man den Startwert für x (zufällig) so wählt, dass an oder in der Nähe dieser Stelle gerade ein relatives Minimum oder Maximum liegt.

3.) Bei Funktionen die Definitionslücken haben kann es auch passieren.

4.) Bei trigonometrischen Funktionen kann es passieren, dass zwar eine Nullstelle gefunden wird, diese aber weit von dem Startwert für x entfernt liegt, den man gewählt hat, das liegt daran weil trigonometrische Funktionen unendlich viele Nullstellen haben.

5.) Bei mehrfachen Nullstellen, das sind mehrfache identische Nullstellen, kann das Newton-Verfahren zwar auch konvergieren, aber dann ist oft eine langsame Konvergenz vorhanden.

6.) Ist der Startwert für x sehr weit von der Nullstelle entfernt, dann kann eine extrem langsame Konvergenz vorliegen.

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