Aufgaben zur Kombinatorik?
1) Wir betrachten alle dreistelligen Zahlen mit verschiedenen Ziffern.
a) Wie viele sind gerade ? (Lösung: 9⋅8⋅1 = 72 enden mit 0 und 8⋅8⋅4 = 256 enden mit den anderen geraden Ziffern; also sind insgesamt 72 + 256 = 328 gerade.)
b) Wie viele sind durch 5 teilbar ? (Lösung: 9⋅8⋅1 = 72 enden mit 0 und 8⋅8⋅1 = 64 mit 5; also sind insgesamt 72 + 64 = 136 durch 5 teilbar)
2) Bestimme die Anzahl der verschiedenen Permutationen, die aus allen Buchstaben des Wortes SEEWEG gebildet werden können.
a) Wieviele von ihnen beginnen und enden mit E ? Lösung:24
b) In wievielen stehen die 3 E nebeneinander ? Lösung:24
c) Wieviele beginnen mit E und enden mit G ? Lösung:12
3) Eine Gruppe besteht aus 9 Jungen und 3 Mädchen.
a)Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn unter den 4 Personen mindestens 1 Mädchen sein soll ? Lösung: 12über4 (=495) - 9über4 (=126) = 369
b)Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn unter den 4 Personen genau ein Mädchen sein soll ? 3 ⋅ 9über3 (=84) = 252
Bitte, wenn möglich, alle Aufgaben verständlich erklären…
1 Antwort
Bei 1) musst Du für jede der drei Stelle überlegen, wieviele Ziffern in Frage kommen.
a) eine Zahl ist gerade, wenn sie auf 0,2,4,6,8 endet. 2,4,6 und 8 können aber auch an erster Stelle stehen, die Null nicht, daher betrachtet man diese als "Sonderfall". Ist die letzte Stelle eine 0, dann gibt es für die erste Stelle 9 Möglichkeiten (Ziffern 1-9), für die zweite bleiben dann noch 8 übrig, weil es ja keine doppelten Ziffern geben soll. Für die 3. Stelle gibt es nur die eine Möglichkeit, nämlich die 0. Diese Möglichkeiten musst Du multiplizieren, also 9*8*1=72. Ist die letzte Ziffer eine der anderen 4 geraden, dann bleiben für die 1. Stelle 8 Möglichkeiten (nämlich die Ziffern 1-9, ohne die entsprechende gerade Ziffer an letzter Stelle), für die 2. Stelle gibt es auch 8 (nämlich 0-9 ohne die erste und letzte Ziffer), also 8*8*4=256 Möglichkeiten. Diese beiden ermittelten Möglichkeiten müssen dann nur noch addiert werden.
b) geht genauso, nur dass Du hier nur die Ziffern 0 und 5 an letzter Stelle betrachten brauchst, denn nur dann ist eine Zahl durch 5 teilbar.
2)
a) sind erste und letzte Stelle fest, dann hast Du bei 4 verbleibenden Möglichkeiten für die zweite Stelle 4 mögliche Buchstaben, für die dritte Stelle nur noch 3, für die vierte 2 und für die fünfte Stelle bleibt nur noch 1 Buchstabe übrig. Diese Möglichkeiten werden wieder multipliziert: 4*3*2*1=24
b) es gibt 4 Möglichkeiten den "Dreierblock" EEE anzuordnen, an 1., 2., 3. oder 4, Stelle beginnend. Dann müssen jeweils noch die übrigen 3 Buchstaben angeordnet werden, nach dem Schema von 2a), also 3*2*1, ergibt ebenfalls 4*3*2*1=24 Möglichkeiten
c) hier hast Du wieder 4 Stellen zu verteilen, da man die beiden E's aber nicht unterscheiden kann, und Du diese auf 2 Arten "untereinander verteilen" kannst, musst Du die eigentliche Anzahl der Möglichkeiten (4*3*2*1=24) noch durch 2 teilen, also 24:2=12.
Beispiel: ich bezeichne die E's mal mit E' und E'' zur Unterscheidung.
eine Möglichkeit der Aufteilung wäre: SE'WE'', eine andere SE''WE', also rechnerisch 2 Möglichkeiten, aber "visuell" nur 1, daher das teilen durch 2, weil diese Thematik für alle möglichen Kombinationen gilt.
3)
a) um von 12 Personen 4 auszuwählen gibt es 12*11*10*9 Möglichkeiten, da aber vollkommen egal ist, wer zuerst ausgewählt wird musst Du diese Anzahl noch durch die Anzahl der möglichen Kombinationen innerhalb dieser 4 Personen teilen, und das ist (wie in Aufgabe 1 gelernt) 4*3*2*1, und das ist nichts anderes wie (12 über 4). Hiervon musst Du jetzt noch die Möglichkeiten abziehen, dass nur Jungen gewählt werden. Aus 9 Jungen 4 zu wählen ist, ähnlich wie bei 4 aus 12, (9 über 4).
b) um genau 1 Mädchen zu wählen gibt es 3 Möglichkeiten; um für die restlichen 3 Plätze nur Jungen zu wählen, gibt es (wie in a) ) noch (9 über 3) Möglichkeiten.
Kannst mir auch hier eine Nachricht schreiben. Der sicherste Weg wäre allerdings, wenn Du die Frage(n) öffentlich stellst; kommen die Fragen nicht im Minutentakt und ist etwas Eigenleistung zu erkennen, dann gibt es hier einige sehr fähige "Lehrmeister", die sicher gerne helfen.
Dankesehr, kann man irgendwie über Mail in Kontakt treten?
Hätte noch weitere fragen...