Arccos(1/2)= +-pi/3?
Hallo,
ich verstehe nicht wieso hier bei diesem Bild arccos von 1/2
als plus und minus pi/3 angenommen worden ist.
Müsste nicht Nur plus pi/3 sein , wie ganz normal auch?
danke:)
2 Antworten
Da steht doch nirgends, dass arccos(1/2) auch -π/3 wäre. (Nur bei dir in deiner Frage.)
Es ist arccos(1/2) = π/3, wie du richtig festgestellt hast. Bedenke jedoch, dass y = arccos(1/2) nicht die einzige Lösung der Gleichung cos(y) = 1/2 ist.
Die Gleichung cos(y) = 1/2 hat unendlich viele Lösungen, wovon jedoch nur zwei Lösungen zwischen -π und π liegen, nämlich y = -π/3 bzw. y = π/3.
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Wenn man eine Gleichung der Form
cos(x) = a
vorliegen hat. So ist zunächst durch x = arccos(a) eine Lösung der Gleichung gegeben.
Wegen cos(-x) = cos(x) für alle x ist dann aber auch durch x = -arccos(a) eine weitere Lösung der Gleichung cos(x) = a gegeben.
[Und aufgrund der 2π-Periodizität der cos-Funktion gibt es noch unendlich viele weitere Lösungen der Gleichung cos(x) = a, welche sich additiv um ein Vielfaches von 2π von arcos(a) bzw. -arccos(a) unterscheiden.]
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Im konkreten Fall ist also neben
y₁ = arccos(1/2) = π/3
durch
y₂ = -arccos(1/2) = -π/3
eine weitere Lösung der Gleichung cos(y) = 1/2 mit -π < y < π gegeben.
Die Sinus und Kosinusfunktionen haben die Eigenschaft, dass mehrere (unendlich sogar) x Werte gleiche y Werte liefern. Sin(0) ist zum bsp gleich Sin(2Pi). Andersherum kann man einem y Wert mehrere x Werte zuordnen, die Kosinusfunktionen ist quasi an der y Achse gespiegelt, als gilt: f(x) = f(-x) für die Kosinusfunktion
Edit: Kanns sein dass ich damit deine Frage garnicht beantworte, wenn ja dann sorry lol 😅
Ein ähnliches Beispiel zum Vergleich:
Die Gleichung x² = 4 hat nicht nur die Lösung x = 2, sondern auch die Lösung x = -2, obwohl √(4) = 2 ≠ -2 ist.
Denn √(4) ist nicht einfach nur als Lösung der Gleichung x² = 4 definiert. [Da gäbe es ja nicht nur eine, weshalb dann √(4) nicht wohldefiniert wäre.] Sondern √(4) ist als nicht-negative Lösung der Gleichung x² = 4 definiert.
x = √(4) ist dann nicht die einzige Lösung der Gleichung x² = 4, sondern nur die einzige nicht-negative Lösung. Es gibt eben auch die negative Lösung x = -2.
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So ist es im Grunde auch im von dir angehängten Bild.
y = arccos(1/2) = π/3 ist nicht die einzige Lösung der Gleichung cos(y) = 1/2.
Denn arccos(1/2) ist auch nicht einfach als Lösung der Gleichung cos(x) = 1/2 definiert, sondern als die Lösung der Gleichung cos(x) = 1/2 mit 0 ≤ x ≤ π. Außerhalb des Intervalls [0, π] gibt es durchaus noch weitere Lösungen.