Anwendungen der Integralrechnung?
Hey, kann mir jemand helfen wie man das genau rechnet?
2 Antworten
Finde zunächst die benötigten Randfunktion, welche die Ausschnitte beschreiben.
Sei der obere Rand des Rechteckes (des Hemdes) die X-Achse. Die Y-Achse gehe senkrecht nach oben. Der Ursprung des Koordinatensystems liege in der oberen linken Ecke des Hemdes.
Das Rechteck lässt sich als abgeschlossene Teilmenge des IR^2 verstehen, für diese Menge H gelte:
H = { (x, y) aus IR^2 : 0 <= x <= 50 und -65 <= y <= 0 }
Es gilt nun die Schnitte S1, S2 und S3 zu finden.
Betrachte nun für S1 zunächst den linken Schnitt (S1), aufgrund vorgegebener Parabelform und gut ablesbarem Scheitelpunkt können wir nun mit der Scheitelpunktsform ansetzten und erhalten zunächst für den rechten Rand:
f(x) = a*(x - 0)² + (-15) = ax² - 15
Mit einer Nullstelle bei x = 5 folgt damit:
a = 15/25
--> f(x) = (15/25)*(x² - 25)
Somit folgt S1 zu:
S1 = { (x,y) aus IR^2 : 0 <= x <= 5 und f(x) <= y <= 0 }
Den Flächeninhalt |S1| erhalten wir schließlich über Integration:
|S1| = Int[0, 5]{ (0 - f(x)) dx }
Für S2, den mittleren Schnitt, folgt analog als untere Randfunktion:
f(x) = a(x - 25)² - 20
Mit Nullstelle bei x = 10
--> 20/15² = a
Somit erhalten S2 zu:
S2 = { (x, y) aus IR^2 : 10 <= x <= 40 und f(x) <= y <= 0 }
Den Flächeninhalt |S2| folgt dann über Integration:
|S2| = Int[10, 40]{ (0 - f(x)) dx }
S3 muss aufgrund von Symmetrie nicht mehr berechnet werden, denn es folgt:
|S3| = |S1|
Schließlich folgt der Flächeninhalt des Rohlings |H| zu:
|H| = (0 - (-65))*(50 - 0) = 50 * 65
Der Prozentualle Anteil P des Schnittes am gesamten Rohling folgt dann zu:
P = (|S1| + |S2| + |S3|)/|H|
Schließlich noch ein letztes Wort zur Integration von Polynomfunktion, speziell Polynomen zweiten Grades:
Sei p(x) = ax² + bx + c mit a,b, und c aus IR beliebig.
Die Stammfunktion dieses Polynoms p, P, folgt zu:
P(x) = (a/3)*x^3 + (b/2)*x² + c*x + const mit const aus IR beliebig.
Nach dem zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt somit das bestimmte Integral:
Int[ d, e ]{ k*p(x) dx } mit d < e , k aus IR beliebig (für Polynome)
zu:
Int[ d, e ]{ k*p(x) dx } = k*(P(e) - P(d))
Im Endeffekt musst du an dieser Stelle nur noch einsetzen und ausrechnen. Ich bin für den Rest zu faul.
Total simpel ausgedrückt:
Du musst den Flächeninhalt berechnen, der von der oberen Kante und den unteren parabelförmigen Randfunktionen eingeschlossen wird.
In der Schule solltet ihr gelernt haben, dass das Integral einer Funktion über ein Intervall [a, b] den Flächeninhalt des zwischen Graph und x-Achse eingeschlossenen Bereiches widergibt. Man macht sich dies hier zu Nutze indem man die X-Achse auf den oberen Rand des rechteckigen Rohlings legt. Schließlich gilt es die Randfunktionen zu bestimmen, welche hier einfach zu bestimmen sind, da einem die parabelförmige Form bereits vorgegeben wurde. Man berechnet dann schließlich den Flächeninhalt wie oben angedeutet über Integration. Das X-Intervall lässt sich dabei in 7 Bereiche aufteilen:
x < 0 : Hier befindet sich nichts
0 <= x <= 5 : Hier befindet sich der linke Verschnitt
5 < x < 10 : Hier befindet sich der Rohling (der finale Teil)
10 <= x <= 40 : Hier befindet sich der mittlere Verschnitt
40 < x < 45 : Hier befindet sich der Rohling (der finale Teil)
45 <= x <= 50 : Hier befindet sich der dritte Verschnitt
x > 50 : Hier befindet sich wieder nichts
hast du im unterreich nicht aufgepasst, einfach obere un untere grenzen in deinen ts mit der f(x) eingeben enter drücken und das dann 3 mal für die 3 bereiche
Ja ich bin sogar zu dumm um die Bedingungen aufzustellen, das ist mein größtes Problem. Mit der Integralrechnung an sich komme ich gut klar .
denn sollte das kein problem sein, wenn du damit gut klar kommst, dass ist auch echt einfach von hand auszurechnen
Naja doch es ist ein Problem da ich das irgendwie mit den Bedingungen die ich ja davor ja haben muss, nicht aufstellen kann
hä? die maßeinheiten stehen doch an der seite, daraus kannst du deoch deine funktion erstellen
wie denn? Mein Lehrer meinte dass wir da erstmal irgendwie ein Koordinatensystem ranzeichnen müssen und dann die Parabeln einzeln berechenen sollen
kann mir bitte jemand antworten? Ich sitze seit 3 Stunden hier dran
manche Begriffe sind mir zwar total fremd, aber vielen dank dass du dir die Mühe gemacht hast ! es hat mir zum Verständnis auf jeden Fall weitergeholfen