Achsensymmetrie Wendepunkt?
Die Frage lautet:
Gibt es einen achsensymmetrischen Potenzfunktionsgraphen mit nur einem Wendepunkt ?
Kann mir jemand helfen ?
4 Antworten
Hallo,
wie soll das gehen?
Liegt ein Wendepunkt links oder rechts von der y-Achse, liegt sein Spiegelpunkt bei Achsensymmetrie auf der anderen Seite.
Liegt er auf der y-Achse, kann die Funktion nicht achsensymmetrisch sein, denn nach dem Wendepunkt steigt der Funktionsgraph entweder weiter oder er fällt weiter.
Wegen der Spiegelung müßte er aber entweder links fallen und rechts steigen oder umgekehrt.
Herzliche Grüße,
Willy
Bedingung Achssymetrie f(x)=f(-x) und Exponenten n=gerade
Die Parabel y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao hat keinen Wendepunkt
Die kubische Funktion y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao hat immer einen Wendepunkt
Bedingung n=gerade ist bei der kubischen Funktion nicht möglich x³ n=3 ungerade
x¹ n=1 ungerade
ganzrationale Funktion 4.Grades y=f(x)=a4*x⁴+a3*x³+a2*x²+a1*x+ao
Achssymetrisch f(x)=f(-x) und n=gerade
f(x)=a4*x⁴+a2*x²+ao
f´(x)=4*a4*x³+2*a2*x
f´´(x)=0=12*a4*x²+2*a2 ergibt Wendepunkt bei x1,2=+/- Wurzel(-2*a2/(12*a4))
wobei der Radikant (-2*a2/(12*a4)>0 sein muß,dann 2 Wendepunkte
Bedingung "Wendepunkt" f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null
Bei 1 Wendepunkt müßte f´´(x)=0=m*x+b eine Gerade sein
Prüfe mal ob die Funktion f(x)=a4*x⁴ einen Wendepunkt hat
Der Wendepunkt trennt 2 Kurvenbögen voneinander,konvex und konkav
Krümmung siehe ,Mathe-Formelbuch,Differentialgeometrie
k=y´´/(1+(y´)²)^(3/2)
k<0 konvex (Rechtskrümmung,von oben auf den Graphen gesehen)
k>0 konkav (Linkskrümmung)
y´´=f´´(x) bei einem Wendepunkt findet dann bei der Krümmung ein Vorzeichenwechsel statt.
Wenn die Funktion achsensymmetrisch ist, kann sie nur eine gerade Anzahl an Wendepunkten haben. Schließlich muss sie ja links und rechts spiegelbildlich gleich aussehen.
Es sei denn, der Wendepunkt läge genau auf der Achse. Dann könnte sie aber wiederum nicht achsensymmetrisch sein, da an der Stelle des Wendepunktes die Krümmung ihr Vorzeichen wechseln müsste.
Das mit der Hausaufgabenhilfe ist ja mal ne tolle Antworten...
Na ja. Wendepunkt ist ein Punkt an dem eine Funktion die Krümmungsrichtung wechselt. Überlege dir mal, wie oft das passieren muss damit die Funktion achsensymmetrich bleibt.