Abstand zweier windschiefen Geraden bestimmen?
Hey Community,
so eine (ähnliche) Frage wurde hier vor Kurzem schon hochgeladen.
Ich habe es selber versucht, kam aber nicht weiter. Ich habe mir auch die Antworten unter dieser Frage durchgelesen, kam aber mit diesen Informationen immernoch zum selben Ergebnis. Wie auch immer - hier erstmal mein Rechenweg.
Es geht darum die Konstante a so zu berechnen, dass der Abstand der windschiefen Geraden g und h genau 7/5 beträgt. Allerdings kommt am Ende kein a mehr vor - es scheint also, als wäre der Abstand der beiden Geraden unabhängig von a.
Aber ich war misstrauisch und habe auf Geogebra nachgeschaut und gesehen, dass der Abstand sehr wohl von a abhängt.
Ich möchte gerne wissen, wo der Fehler in der Rechnung ist - dies liegt mir sehr am Herzen. Freue mich über Antworten :)
Rechenweg: "Spatprodukt-Methode"
Jetzt ist es richtig!
Rechenweg: "Hilfsebene-Methode"
2 Antworten
Hallo,
bist Du sicher, daß der Stützvektor von g die Koordinaten (2/0/1) hat und nicht (2/1/0)? Ansonsten kommst Du nämlich nie auf d=7/5 (ich habe mit (2/1/0) gerechnet und da paßte es.
Du hast die Formel für die Normalenform genommen, brauchst aber die Abstandsformel. Die lautet d=(Q-P)*n0, wobei n0 der Einheitsnormalenvektor der beiden Richtungsvektoren ist, also der Normalenvektor geteilt durch seinen Betrag.
Q-P ist der Verbindungsvektor der beiden Stützpunkte.
Der Gedanke dahinter ist folgender:
Wenn Du zwei windschiefe Geraden hast, kannst Du aus ihnen zwei parallele Ebenen basteln, deren Abstand dem der beiden Geraden entspricht.
Der Normalenvektor ist hier (-4a/3a/0),.
Die Ebenengleichungen lauten mithin -4ax+3ay=d, wobei Du d erhältst, wenn Du jeweils die Stützpunkte (2/0/1) und (1/2/-1) einsetzt.
E1: -4ax+3ay=-8a; E2: -4ax+3ay=2a.
Q-P=(1-2/2-0/-1-1)=(-1/2/-2).
n0=(-4a/3a/0)/5a.
(-1/2/-2)·(-4a/3a/0)=10a. Das geteilt durch 5a ergibt d=2 in allen Fällen, solange a ungleich Null ist, denn außer bei a=0 kannst Du a einfach kürzen.
Nimmst Du dagegen (2/1/0) als Stützvektor, kommst Du auf 7a/5a, also außer bei a=0 immer auf d=7/5.
Der Abstand zweier paralleler Ebenen wird so berechnet, daß man das Spatprodukt durch den Betrag des Normalenvektors teilt, denn das Spatprodukt ergibt das Volumen des Spats, der von den beiden Richtungsvektoren (die beide parallelen Ebenen gemeinsam haben) und der Verbindung zwischen den beiden Stützpunkten aufgespannt wird. Teilst Du dieses Volumen durch die Grundfläche (den Betrag des Normalenvektors), hast Du automatisch die Höhe des Spats, die mit dem Abstand der beiden Ebenen identisch ist, denn das Spatvolumen ist Grundfläche mal Höhe.
Man nutzt also die Tatsache aus, daß es zwei Methoden gibt, das Spatvolumen auszurechnen: Einmal das Spatprodukt, also Kreuzprodukt mal (Q-P) und dann Grundfläche (also Betrag des Normalenvektors) mal Höhe.
Herzliche Grüße,
Willy
Hab noch mal nachgerechnet. Funktioniert auch mit den Hilfsebenen und den Fußpunkten.
Die Höhenfußpunkte zweier windschiefer Geraden und damit die beiden Punkte, an denen die Geraden den geringsten Abstand besitzen, berechnest Du folgendermaßen:
Du berechnest zunächst wieder den Normalenvektor der beiden Richtungsvektoren. Nun konstruierst Du eine erste Hilfsebene, die aus dem Richtungsvektor von Gerade 1 und dem Normalenvektor besteht, indem Du das Kreuzprodukt daraus bildest und den Stützpunkt von Gerade 1 einsetzt.
So bekommst Du eine Ebene, die senkrecht auf beiden Geraden steht.
Setzt Du nun Gerade 2 in die Gleichung von Ebene 1 ein, kannst Du den Faktor vor dem Richtungsvektor berechnen und damit den Fußpunkt von Gerade 2 auf Gerade 1.
Nun konstruierst Du Ebene 2 aus dem Normalenvektor und dem Richtungsvektor von Gerade 2 und dem Stützpunkt von Gerade 2 und setzt anschließend Gerade 1 in die Gleichung ein. So bekommst Du den zweiten Fußpunkt. Der Betrag des Differenzvektors zwischen beiden ist dann der gesuchte Abstand. Als ich das gestern Abend versucht habe, hatte ich einen Rechenfehler und kam deswegen auf ein falsches Ergebnis. Heute paßte aber alles; es geht also auch so.
Die andere Methode ist aber wesentlich flotter und weniger fehleranfällig.
Ich war gestern allerdings auch durch einen Krimi abgelenkt.
Okay. Erstmal, Vielen Dank für die ausführliche Antwort! :)
Ich glaube, ich nehme die Methode mit dem Spatprodukt/Betrag(n). Kann ich mir gut vorstellen und scheint auch schneller zu sein.
Ist es also richtig, wenn ich folgendes rechne?:
|<[(3, 4, a)×(3, 4, 0)][(2, 0, 1)–(1, 2, -1)]>|
Und dieses Ergebnis dann mit
|(3, 4, a)×(3, 4, 0)| dividiere?
Ich erhalte nämlich wieder 2 als Ergebnis :(
(Siehe Ergänzung Frage)
Siehst Du, wo der Fehler ist? Oder habe ich ein Verständnisfehler (immernoch)?
Genau! So hab ich es auch rausbekommen.
Habe jetzt die Frage nochmal ergänzt mit der Rechnung, wo der richtige Stützvektor (2,1,0) vorhanden ist.
Erhalte jetzt auch Deine Ergebnisse.
Ein Frage noch:
Wie ist es möglich, dass der Abstand dieser beiden Geraden unabhängig von a ist? Also ich weiß nicht, wie ich es mir vorstellen soll.
Den Normalenvektor kannst Du auch als a*(-4/3/0) darstellen, er ist also nur ein Vielfaches des Vektors (-4/3/0).
Auch ohne a würde er seinen Zweck erfüllen, nämlich senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren zu stehen, denn das a verändert nur seine Länge, nicht aber seine Richtung (außer daß ein negatives a den Vektor in Gegenrichtung dreht.
Achso, und ja. Es hätte eigentlich Dein genannter Stützvektor bei g sein müssen, also (2, 1, 0).
Ignorier bitte den letzten Kommentar.
Habe die Antwort noch einmal ergänzt und habe (endlich) auch 1.4 als Abstand raus.
Mich verwirrt es wirklich, dass Geogebra mit etwas anderes angibt, aber ich glaube Dir einfach mal - scheinst ja tatsächlich Experte in Deinem Thema zu sein.
Ich bedanke mich vielmals für Deine Hilfe:D
Ja ich bin mir jetzt auch ganz sicher, dass für jedes a (sogar gleich Null) der Abstand immer kostant 7/5 ist.
Man erhält, wenn man mit den Hilfsebenen rechnet, ein Ergebnis, dass auch ohne Kürzen unabhängig von a ist.
Stimmt, hatte wieder nen Denkfehler.
Aber wäre es nicht Wutzel(3).
Man kann ja schließlich einfach den Betrag des Differenzbektors der beiden Stützvektoren dann nehmen oder nicht?
Ne... der kann ja je nach Auswahl der Stützvektoren sehr groß werden... wie hast Du dies ausgerechnet?
Auf ähnliche Weise wie den Abstand der windschiefen Geraden.
Die beiden parallelen Geraden und der Differenzvektor spannen ein Parallelogramm auf. Die Fläche dieses Parallelogramms entspricht dem Betrag des Kreuzproduktes der beiden Spannvektoren (also Richtungs- und Differenzvektor). Das geteilt durch den Betrag
(die Länge des Richtungsvektors )ergibt die Höhe und damit den Abstand.
Hallo,
a darf nur nicht Null werden, sonst kürzt es sich weg, so daß der Abstand für alle a 7/5 ist.
Ich habe es mit einem Geometrieprogramm überprüft.
Herzliche Grüße,
Willy
Achso... habs falsch verstanden.
Wo habe ich denn den Fehler, sodass ich 2 statt 7/5 erhalte...
Darf ich mal dein Geometrieprogramm sehen? Ich habe gerade noch einmal geschaut bei mir und keinen Tippfehler gefunden. Der Abstand hängt von a ab.
Sorry für die vielen Kommentare, aber ich wollte kurz sagen, dass für a=1.55 dies erfüllt ist. Für a=1 zum Beispiel nicht - also kann Deine Behauptung nicht stimmen, gibt ja ein Gegenbeispiel.
Mathematik alpha (kostenlos herunterzuladen), Menupunkt analytische Geometrie im Raum.
Egal, was Du für a eingibst (außer 0), bleibt der Abstand immer bei 1,4 oder 7/5.
Determinante der Matrix aus Richtungsvektoren und dem Differenzvektor der beiden Stützvektoren durch Betrag des Normalenvektors.
Also ich glaube eigentlich, dass Geogebra keinen Fehler macht, aber gut.
Siehst du denn wo der Fehler bei mir ist, denn ich habe weder etwas, was von a abgängt, noch gleich 7/5.
Gibt es nicht auch eine andere Möglichkeit, da ich diese Regel nicht beherrsche
Ok. Falls Du es noch tun solltest, würde es mich freuen, wenn Du mir Rückmeldung geben wirst :)
Das ist letztlich genau die gleiche Formel, die meiner ersten Antwort zugrundeliegt. Ich hatte nur mit einem anderen Stützvektor gerechnet, der dann aber genau paßte (es scheint wohl ein Dreher in der Aufgabe vorzuliegen).
Normalenvektor mal Verbindungsvektor ergibt die Determinante der Matrize aus den beiden Richtungsvektoren und dem Verbindungsvektor. Das Ergebnis ist das Gleiche, wird nur anders berechnet. Du kannst also genausogut das Kreuzprodukt der beiden Stützvektoren berechnen und danach das Skalarprodukt aus Normalen- und Verbindungsvektor. Wichtig ist nur, das Ganze noch durch den Betrag des Normalenvektors zu teilen, um den Abstand zu bekommen.
Ich habe auch versucht, die Höhenfußpunkte der beiden Geraden zu bestimmen und dann deren Abstand zu ermitteln - das hat aber aus irgendeinem Grund nicht hingehauen. Ist auch eine sehr fehleranfällige Methode, weil man dazu Hilfsebenen konstruieren muß.