Ableitung mit e-Funktion hoch Sinus?

Soweit ich das verstanden habe, muss man hier einmal die Summenregel und dann die Kettenregel anwenden. Summenregel ist ja ersichtlich. Aber wie kommt man darauf, hier die Kettenregel anzuwenden? Und wieso leitet sich sin(x^2) zu 2x*cos(x^2) ab? Also welcher Regel entspricht das? Ich habe bei mir in der Formelsammlung geschaut, bin aber nicht fündig geworden (also dass das x^2 auch abgeleitet wird)...

Answer 1

[nobytree2]

Man kann die Summanden einzeln ableiten, bei sin(x²) gilt noch innere Ableitung mal äußere Ableitung, letzteres mit sin(z) dargestellt.

$\left(e^{\sin\left(x^2\right)}\right)'=\left(\sin\left(x^2\right)\right)'e^{\sin\left(x^2\right)}=\left(x^2\right)'\left(\sin\left(z\right)\right)'e^{\sin\left(x^2\right)}$ $=2x\cdot\cos\left(x^2\right)e^{\sin\left(x^2\right)}$

das zweite ist einfach nur Produktregel auf die innere Ableitung

$\left(e^{\sin^2x}\right)'=\left(\sin^2x\right)'e^{\sin^2x}=\left(\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)+\cos\left(x\right)\sin\left(x\right)\right)e^{\sin^2x}$ $=2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)e^{\sin^2x}$

Comments

[or1986]

Jetzt ist's klar! Danke :)

Answer 2

[Littlethought]

f1(x) = sin(x^2); => f1´(x) = 2x * cos(x^2) ;

f2(x) = sin(sin(x)) => f2´(x) = cos(x) * cos(sin(x));

e^f1(x)´ = f1´(x) * e^f1(x) und e^f2(x)´= f2´(x) * e^f2(x) ;

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Lehrer u. Fachbetreuer für Mathematik und Physik i.R.

Answer 3

[Enzi1]

das x steht ja in einer Funktion drinnen, also einer exponentialfunktion . sin2(x) ist ja nicht anderes als sin*sin und da kannst du wieder die Produktregel anwenden

Comments

[or1986]

Danke für den Hinweis. Ich habe mich das aber noch eher bei sin(x^2) gefragt, wieso das 2x auch abgeleitet wird.

[Enzi1]

@or1986

Kettenregel (innere Ableitung)