1024?
wie ist es möglich die Zahl 1024 als Summe von mindestens 2 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen größer als 0 zu schreiben?
bitte helft mir
5 Antworten
Die Summe aufeinanderfolgender Zahlen kann keine Zweierpotent sein.
Aufeinanderfolgende natürliche Zahlen von a bis b haben die Summe
S = 1/2 * (a + b) * (b + 1 - a)
Wenn S eine Zweierpotenz wäre, dann wäre auch S * 2 Zweierpotenz.
Also müsste (a + b) * (b + 1 - a) Zweierpotenz sein.
Da die Primfaktorzerlegung einer Zweierpotenz nur aus Zweien besteht, müssen die Faktoren (a + b) und (b + 1 - a) ebenfalls Zweierpotenzen sein.
Aber einer dieser Faktoren ist ungerade, also kann S keine Zweierpotenz sein.
Angenommen man findet eine solche Folge. Diese endliche Folge n, n+1, n+2, n+3,... charakterisiere man mit der kleinsten Zahl n und der Anzahl der Glieder a. Setze k derart, dass a= 2^k * b für ein ungerades b ist. Für deren Summe gilt
- n+n+1+n+2+n+3+...n+a-1
- = a*n + (a -1)a /2
- = 2^k * b *n + ((2^(k-1) * b) -1)* 2^(k-1) * b
- =2^(k-1) (2*b*n + (2^(k-1) * b -1) *b)
- =1024
Da 1024=2^10 ist, müssen alle Teiler von 1024 2-er-Potenzen sein, dies gilt auch für den Teiler (2*b*n + (2^(k-1) * b -1) *b). Für k>1 ist 2^(k-1) * b gerade, 2^(k-1) * b -1 ungerade, 2^(k-1) * b -1) *b ungerade und damit ist 2*b*n + (2^(k-1) * b -1) *b ungerade (Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist ungerade), sodass (2*b*n + (2^(k-1) * b -1) *b) keine 2-er Potenz und damit auch kein Teiler von 1024 sein kann. Widerspruch. Im Fall k=1 (a ist also ungerade) betrachte wieder die Summe der Folge:
- a*n + (a -1)a /2
Da n und a*n natürliche Zahlen sind, muss (a -1)a /2 auch eine sein, genauso wie (a -1)/2. Daraus folgt, dass a ein Teiler der Summe ist. Wieder ein Widerspruch.
Es gibt keine solche Folge.
- Super Antwort, aber ich verstehe nicht so recht, wie du auf n+n+1+n+2+n+3+...n+a-1 kommst. Also explizit der letzte Summand erschließt sich mir nicht.
Ah, ich hab's verstanden. Das Problem war das fehlende + vor dem Summanden. "n+a-1", natürlich!
Nein, denn es gilt:
Zweierpotenzen kann man nicht als Summe zweier aufeinanderfolgender Summanden schreiben, denn eine solche Summe würde eine ungerade Zahl ergeben.
Zweierpotenzen kann man auch nicht als Summe einer ungeraden Anzahl aufeinanderfolgender Zahlen schreiben, denn Zahlen, die man in eine ungerade Anzahl von Summanden zerlegen kann, lassen sich als Produkt einer ungeraden Zahl (Anzahl der Summanden) und einer weiteren Zahl schreiben. Zweierpotenzen haben aber nur gerade Teiler.
Mit einer ähnliche Begründung kann man ebenfalls zeigen, dass Zweierpotenzen auch nicht mit einer beliebigen geraden Anzahl von Summanden > 2 dargestellt werden können.
Fazit vergessen:
Da man also Zweierpotenzen nicht mit 2 oder einer ungeraden Anzahl > 1 oder einer geraden Anzahl > 2 von aufeinanderfolgenden Summanden schreiben kann, lautet die Antwort: Das geht nicht.
Nein, denn die Summe aus zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen größer 0 ist immer eine ungerade Zahl.
(2n + 1) + (2n) = 4n + 1 (ungerade)
Ach, "mindestens". Dann keine Ahnung.
n + (n+1) =
2n+1 = 1024
2n = 1023
n = 1023/2
tut nicht funktionieren
Yo, da unterschreibste dann aber halt Scheiße, weil nach mindestens und nicht genau 2 Summanden gefragt war.
keine Ahnung , hoffentlich kann man das aus meiner Antwort nicht herauslesen !
Wenn 3 oder mehr , dann bräuchte man so eine Folge wohl n-1 n n+1 .........oder vier ? n-2 n-1 n n+1 = 4n-2 .........jedenfalls muss n ein teiler sein ( glaube ich )
bei ungeraden geht es z.b 25 ist 3 + 4 + 5 +6 +7