(-3)² = 9. Was ist die Umkehroperation?
Für …
3² = 9
… ist die Umkehroperation …
²√9 = 9^(1/2) = 3
Was also ist sie für …
(-3)² = 9
…?
6 Antworten
x² = 9
x = ±√9
x1 = 3
x2 = -3
-3 = ±3
steht dann da ja eigentlich da, also macht halt einfach keinen sinn das da einzusetzen, weils für die gleichung 2 lösungen gibt
Um zu überprüfen, ob in quadratischen Gleichungen die Lösungen stimmen, setzt man diese in die Ausgangsgleichungen ein.
In Deinem Beispiel muss schon in der zweiten Zeile eine Fallunterscheidung stehen …
x12 = … oder x1/2 = …
dann passt es.
jo stimmt. das sollte da hin. aber wenn dann weißt du es ja eigentlich doch
Ich weiß, wie man quadratische Gleichungen löst, aber ich finde es seltsam/absurd/unlogisch, dass ich eine konkrete Funktion wie √9 = ±3 erst verallgemeinern muss zu √(x²) = ±3 für x² = 9, was keine Umkehroperation von (-3)² = 9 ist, sondern eben eine gelöste (Funktions-) Gleichung mit (einer) Variablen.
mal sehen wieviele Gegenargumente kommen.
eine Glg ist es .
x² = 9 führt zur Lösungsmenge + und -3 durch Radizieren . Anstelle des x kann man also + oder -3 einsetzen. Aha , da liegt das Problem . Wurzel aus 9 ist +3 . Daher käme es mit x = -3 zu einem Widerspruch.
Spielt man mit Wolfram , gibt es ein fettes TRUE
Ja, genau da liegt mein Problem.
Diese (Un-) Logik erschließt sich mir nicht.
ich habs auch erst langsam gelernt . Es ist etwas anderes , ob man Glg oder Terme betrachtet .............. damit es stimmt , ist n u r in einer Glg wur(9) sowohl +3 als auch -3 .................
Ja, aber warum?
Hast Du ein konkretes Beispiel, das √[(-3)²] = (-3) eindeutig widerlegt oder allgemein √[(-a)²] = (-a)?
Ich weiß, die Einschränkung liegt in der Definition der Wurzelfunktion, aber es muss einen Grund dafür geben, der für mich bisher nicht erkennbar ist.
Warum Unlogig? Wenn du (-3)² berechnest kommt das selbe Ergebnis raus wie bei (3)². Es gehen also die "Vorzeicheninformationen" verloren. Wenn man dann das ganze Umkehrt also eine die Umkehrfunktion macht von dem Ergebnis kann man ja nicht sagen, ob es ursprünglich eine -3 oder eine 3 war. deswegen gibt man beide Ergebnisse an. Eben weil beides möglich wäre.
Es ist ja eben nicht beides möglich, sonst wäre √[(-3)²] = √(3²) = √9 = ±3. Stattdessen nutzt man eine Hilfsfunktion mit einer Variablen, die dann tatsächlich zwei Lösungen hat.
Ich habs jetzt.
√((-3)²) = √(3²) = √9 = 3
dass das stimmt da sind wir uns ja einig denk ich mal.
der entscheidende unterschied (durch den auch das ± kommt) ist, dass wir hier
x² = 9
ja versuchen den wert von x zu ermitteln. aber durch diesen vorzeicheverlust ist das eben nicht eindeutig möglich.
und jetz nochmal zu der eigentlichen frage was die umkehroperation zu (-3)² ist
es ist die selbe wie bei 3² ganz einfach weil die umkehroperation einer potenz - unabhängig von verwendeten werten - die wurzel ist. bei 3³ die cubicwurzel usw.
Wäre die (Quadrat-) Wurzel die Umkehroperation zu …
(-3)² = 9
… müsste …
²√9 = (-3)
… herauskommen, tut es aber nicht.
Umkehroperation bedeutet, dass sich diese beiden Rechenoperationen gegenseitig aufheben, nicht dass sich die Werte vertauschen.
ich glaube fast , man muss mal über die unterschiedlich Charaktäre des Gleichheitszeichens diskutieren.
wahrscheinlich ist wur(9) nicht gleich , also = 3 , sondern 3 ist nur eine andere Schreibweise von wur(9) , also eher : äquivalent zu :
Das ist nicht ganz so gearadlinig:
Die Umkehrfunktion zum Quadrat ist die Quadratwurzel. ABER:
Die Gleichung
x^2 = 9
hat 2 Lösungen: PLUS Wurzel(9) und MINUS Wurzel(9).
Das "Problem" hast du noch viel mehr bei den Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen. Dort gibt es unendlich viele Lösungen...
Bei den Winkelfunktionen liegt das aber doch an der Periodizität, oder nicht?
Ich verstehe nicht, warum die Quadratwurzel immer positiv sein soll, eben weil rein logisch aus …
(-3)² = 3² = 9
… folgen müsste …
²√9 = √[(-3)²] = (-3) und ²√9 = √(3²) = 3
Was spricht dagegen, dass es so ist?
Es ist also tatsächlich so, dass nur die Definition sagt, es müsse so sein, aber nicht warum, und selbst ein Mathematiker hat keine brauchbare Lösung. Schade.
Der Umkehrrelation wird ein Ast abgehackt, damit es eine Funktion ist.
ich habs auch erst langsam gelernt . Es ist etwas anderes , ob man Glg oder Terme betrachtet .............. damit es stimmt , ist n u r in einer Glg wur(9) sowohl +3 als auch -3 ................................... was ist daran verbesserungswürdig.
Die Umkehroperation ist das Lösen der Gleichung:
x² = 9
Die hat 2 Lösungen: +3 und -3.
Die Wurzelfunktion ist hingegen so definiert, dass sie nur ein positives Ergebnis hat.
Wieso soll das nicht logisch sein? Eine Funktion kann für jedes Argument nur einen Wert haben, sonst wäre sie keine Funktion (und wäre auch für die Praxis völlig unbrauchbar).
Es hat sich gezeigt, dass es sinnvoll, praktisch und nützlich ist, die Wurzelfunktion so zu definieren. Denn sehr oft braucht man nur die positive Lösung der Gleichung x² = a. Braucht man hingegen beide Lösungen, dann rechnet man eben tatsächlich mit beiden Lösungen dieser Gleichung. Kann man ja tun, wenn man es braucht.
Man kann es ja offensichtlich nicht tun, wenn man es braucht.
Ist Quadrieren eine Funktion?
Die direkte Umkehroperation ist W(9) = -3 , wäre hier aber nur eine Lösung, die 2. Lösung ist +3! Umkehrfunktion: x und y vertauschen und nach y auflösen!
Wo in √9 = (-3) oder √9 = (+)3 siehst Du denn x und y, die sich vertauschen ließen?
9=(-3)² == y = x² und x = y² und auflösen y=W(x²) also -3 =W(9)
Wie Du hier vielleicht und an anderer Stelle bestimmt nachlesen könntest, ist das offensichtlich nicht so.
Lies dir bitte durch, wie man die Gegenfunktion erstellt: Durch vertauschen und wieder auflösen nach y!
Wenn ich jetzt x2 für x einsetze, ergibt das …
(-3)² = 9
(-3) = ±√9