Frage von cookinglove89, 67

Wurzel aus x^2 und (wurzel aus x)^2?

Wir haben momentan in mathe quadratwurzeln und rechnen auch damit. Wir müssen auch die Wurzel aus x^2 (also x quadrat) ziehen. Da ja minus und plus x rauskommen kann muss man |x| schreiben und dann schauen ob es minus oder plus ist. Aber ich versteh nich woher man weiß ob es positiv oder negativ sein muss. Und Ih hab noch eine frage und zwar: (wurzel aus x)^2 also man hat x in der Wurzel stehen und ne klammer drum rum und dann wird das Ergebnis quadriert. Ist es da immer so, dass man es einfach ohne klammer und ^2 abschreiben kann, da x dann doch immer positiv sein muss oder? Hoffentlich kann mir jemand helfen! LG

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 44

Es gilt √(x²) = |x|, da das eventuell negative Vorzeichen des Wertes von x durch das Quadrat schon "positiv gemacht" wird. Wenn du die Wurzel aus dem quadrierten x ziehst, bekommst du also gar nicht mit, welches Vorzeichen der Wert von x hatte, da du sowieso immer ein nichtnegatives Ergebnis erhältst.

Sei x = -2:

Dann gilt: √((-2)²) = √4 = 2 = |-2|

Wenn du das Ergebnis von √(x²) hast, musst du eine Fallunterscheidung durchführen, da x entweder negativ oder positiv ist. Für x hast du dann eben zwei Ergebnisse, ähnlich wie bei quadratischen Gleichungen.

(√x)² ist für negative x im Voraus schon nicht definiert, also ist sicher, dass unter der Wurzel eine nichtnegative Zahl steht.

Somit kannst du auch das Quadrat einfach unter die Wurzel ziehen:

√(x²) = (√x)² für alle x ∈ ℝ₀⁺

Der linke Teil der Gleichung ist zwar für alle reellen Zahlen definiert, aber da der rechte Teil eine eingeschränkte Definitionsmenge hat, hat auch die ganze Gleichung diese eingeschränkte Definitionsmenge. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

Kommentar von cookinglove89 ,

Danke das hat mir echt schon weitergeholfen ;) mal schaun ob ichs in der ex morgen kann ;D

Kommentar von Willibergi ,

Das schaffst du schon. ;-)

LG Willibergi

Antwort
von BiggerMama, 33

√(x²) ist etwas Anderes als (√x)²

Bei √(x²) gibt es immer (eine) Lösung(en). Bei x = 0 hast Du die Lösung 0. Bei x <> 0 gibt es zwei Lösungen: |x| und -|x|.

Bei (√x)² gibt es für x < 0 keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen, weil eine negative Wurzel nicht ziehbar ist. Für positive reelle Zahlen ist das Ergebnis immer positiv, nämlich x.

Kommentar von Rubezahl2000 ,

"Bei √(x²) gibt es immer (eine) Lösung(en). Bei x = 0 hast Du die Lösung 0. Bei x <> 0 gibt es zwei Lösungen: |x| und -|x|."

Das stimmt leider NICHT!
√(x²) ergibt IMMER nur 1 Lösung: IxI
Die Wurzel-Funktion liefert grundsätzlich KEINE negativen Werte!

Kommentar von BiggerMama ,

???

Kommentar von Rubezahl2000 ,

"???" Sehr aussagekräftiger Kommentar ;-)
Glaubst du es nicht? Oder verstehst du es nicht?

Kommentar von Willibergi ,

@Rubezahl2000

Wenn wir folgendes sagen:

a² = x²

Es ist trivial, dass es für x ≠ 0 zwei Lösungen für a geben muss.

Die Betragsfunktion ordnet (abgesehen von der Null) immer zwei Zahlen eine Zahl zu (für x = -2 oder x = 2 ist |x| = 2).

Es gilt also: a = -|x| ∨ a = |x|

a hat somit für x ≠ 0 immer zwei Lösungen.

BiggerMama lag also gar nicht falsch.

LG Willibergi

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 26

|x| = √(x²)
√(x)² = x

Bei positivem x (Beispiel 9): 

1) |9| = 9
2) √(9²) = √(81) = 9
3) √(9)² = √(9) * √(9) = 3*3 = 9

Bei negativem x (Beispiel -9):

1) |-9| = 9
2) √((-9)²) = √(81) = 9
3) √(-9)² = √(-9) * √(-9) = √(-1)*√(9)*√(-1)*√(9) = i * 3 * i * 3 = 9i² = -9

Beispiele sind zwar mathematisch keine Beweise, man kann sich aber allerhand daran verdeutlichen.
Für mich ist eine Veranschaulichung immer sehr wichtig.

Kommentar von Willibergi ,

"√(-9)² = √(-9) * √(-9)"

Das ist nicht zulässig. Das zerlegen einer Wurzel in ein Produkt zweier anderer Wurzeln gilt nur für nichtnegative Radikanten.

√(ab) = √a√b für a,b ∈ ℝ₀⁺

Ein kurzes Beispiel, warum das nicht für alle x ∈ ℝ gilt;

1 = √1 = √((-1)²) = √-1√-1 = i * i = i² = -1

1 = -1

Das funktioniert zwar bei manchen Termen, führt aber auch oft zum Widerspruch. ;)

EDIT: Das Quadrat steht ja gar nicht in der Klammer, habe ich übersehen, sorry. ^^

LG Willibergi

Kommentar von Willibergi ,

Ich würde dir empfehlen, bei so einem Ausdruck (√-9)² zu schreiben, sonst ist nicht ganz klar, was unter/außerhalb der Wurzel steht. ^^

LG Willibergi

Kommentar von Suboptimierer ,

Wenn y = √-9 ist, was ist dann y²? Ich dachte, es wäre (√-9) * (√-9).

Dein Einwand bezieht sich auf eine andere Stelle. Deiner Meinung nach lässt sich √-9 nicht schreiben als √-1 * √-9.

Das ist aber genau die Vorgehensweise, die ich beim Aufstellen der Cardanischen Formeln kennengelernt habe. https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische\_Formeln

Aber auch bei der Lösung von Quadratischen Gleichungen wird so vorgegangen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische\_Gleichung#Fehlendes\_lineares\_Glied

x1,2 = +/- √-c/a
x1,2 = +/- i√c/a

Der fehlende Schritt kann hier nur sein 
√(-c/a) = √(-1 * c/a) = √(-1) * √(c/a) = i√(c/a)

Wenn es eine falsche Vorgehensweise sein sollte, so bin ich jedenfalls nicht der erste, der so vorgeht.

Kommentar von Willibergi ,

Das ist ja korrekt, (√-9)² = √-9√-9.

Nur ist √9 ≠ √-3√-3.

LG Willibergi

Kommentar von Suboptimierer ,

Wo habe ich das denn geschrieben? Bin gerade verwirrt.

Kommentar von Willibergi ,

Ich hätte gedacht dort:

"√(-9)² = √(-9) * √(-9)"

Da das Quadrat sich in dem Fall aber offenbar auf die gesamte Wurzel bezieht, ist mein Kommentar hinfällig. ;)

LG Willibergi

Kommentar von Suboptimierer ,

Ich habe doch extra die Klammern genau so gesetzt, dass das Quadrat außerhalb der Wurzel steht. Den anderen Fall arbeite ich bei 2) ab.

Kommentar von Willibergi ,

Naja, es war imho nicht eindeutig.

Ich habe mich vertan. ^^

Kommentar von Suboptimierer ,

Wie wäre es denn besser gewesen? (√-9)²?

Kommentar von Willibergi ,

Ja, das fände ich zumindest besser. 

Antwort
von iamanewbie, 40

Die aufgabe kann so eigentlich gar nicht da stehen, das sind immer gleichungen. Wenn es also wurzel aus x^2=-5 ist, dann ist halt x=-5 pder x=5 , und das schreibt man auch so. Man nimmt anstelle des "oders" dieses Zeichen"^" nur in größer. Die Aufgabe macht so keinen Sinn, da x jede beliebige Zahl sein kann, da überhaupt kein Ergebnis vorgegeben ist. Bei der 2. Aufgabe ist es genau dasselbe. Es gibt wieder keine Gleichung, ich geh mal wieder von (Wurzel aus x)^2 = 5 aus. Dann käme als Lösung x=5 raus. x=-5 funktioniert nicht, da man keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kann.

Kommentar von Willibergi ,

"Wenn es also wurzel aus x^2=-5 ist, dann ist halt x=-5 pder x=5"

Eine Gleichung wie √(x²) = -5 hat keine Lösung, da der Betrag einer Zahl immer positiv ist.

"Man nimmt anstelle des "oders" dieses Zeichen"^" nur in größer"

Als logisches Oder würde man das Zeichen ∨ verwenden. ∧ stünde für das logische Und und würde in dem Fall keinen Sinn ergeben.

LG Willibergi

Kommentar von iamanewbie ,

Ja da hab ich mich zweimal vertan ;). Bei dem Zeichen für oder hast du natürlich recht, ich hatte aber nur diese Zeichen dabei und war mir nicht mehr sicher was und und was oder ist. Ja da hab ich mich auch vertan. Ich meinte natürlich Wurzel aus x^2= 5, ich wollte nur verdeutlichen ,dass x=-5 oder 5 sein kann, dabei bin ich wohl durcheinandergeraten. Gruß

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community