Bei diesem Problem werden hier im Forum einige grundsätzlich falsche Antworten gegeben.
Deshalb eine Richtigstellung.
Fragestellung:
Beim Memory liegen noch 4 Pärchen (also 8 Karten) verdeckt auf dem Tisch. Kati deckt eine Karte auf. Wie viele Karten muss sie im Durchschnitt noch aufdecken, bis sie die passende aus den verbleibenden sieben Karten zieht, wenn sie die Verteilung der Karten nicht kennt und keine Karte zweimal aufdeckt ?
Lösung:
Es stimmt schon (wie Einige hier sagen), dass die Wahrscheinlichkeit, die richtige Karte zu treffen, zunimmt je mehr man zieht. Spätestens beim 7. Zug hat man 100% Garantie, die richtige Karte aufzudecken.
Aber das wird hier überhaupt nicht gefragt!!!
Wenn man dieses Spielchen in genügend grosser Zahl wiederholt, dann wird man feststellen, dass mal 1 Zug genügt, mal 2 Züge usw. bis zu 7 Züge. Es geht bei dieser Frage hier also um die Verteilung der Anzahl Züge.
Machen wir mal 1000 Spiele. In wievielen Spielen werden 1, 2, 3 usw. bis 7 Züge benötigt?
Je grösser die Anzahl Spielwiederholungen, desto genauer wird sich die wahre Verteilung zeigen.
Diese Verteilung lässt sich errechnen und daraus ergibt sich dann die gesuchte durchschnittliche Anzahl benötigter Züge.
Die erste Karte, die aufgedeckt wird, bestimmt das passende Gegenstück. Bezeichnen wir das Bild darauf mit X, dann wird das andere zweite X gesucht, alle anderen Karten sind dann O (Niete, oder Null). Die Wahrscheinlichkeit für das Aufdecken der ersten Karte beträgt natürlich 100% (also P(X) = 1). Das tönt trivial, ist aber wichtig.
Nachdem X aufgedeckt wird, liegen noch 7 verdeckte Karten auf dem Tisch. Davon ist eine Karte die Richtige. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit im nächsten Zug (also Zug 1) das andere X - also P(XX) - auf zu decken: 1 * 1/7 = 1/7.
Wird kein X gezogen, dann gibt es eine Niete (O), also P(XO) = 1 * 6/7 = 1-P(XX) = 6/7, und der 2. Zug kommt dran. Es liegen jetzt noch 6 verdeckte Karten mit darunter 1 Richtige.
Somit P(XOX) = 1 * 6/7 * 1/6 = 1/7.
So geht das weiter bis alle Möglichkeiten bzw. Kombinationen erschöpft sind.
Tabellarisch:
Anzahl Züge Kombination Wahrscheinlichkeit
1 XX 1 * 1/7 = 1/7
2 XOX 1 * 6/7 * 1/6 = 1/7
3 XOOX 1 * 6/7 * 5/6 * 1/5 = 1/7
usw.
7 XOOOOOOX 16/75/64/53/42/31/2*1 = 1/7
Also, Erwartungswert E = 11/7 + 21/7 +…..+ 7*1/7 = 28/7 = 4.
Im Durchschnitt wird man somit 4 Karten aufdecken müssen, bis die Passende gefunden wird.
Was hat man nun davon? Praktisch gesehen absolut rein gar nichts. Es ist vielleicht überraschend, dass die Wahrscheinlichkeit mit einem Zug fertig zu werden genau so hoch ist wie die mit 7 Zügen (nämlich stets etwa 14 %).
