Am Datum wird es nun bestimmt nicht scheitern. Viel wichtiger ist der eigentliche Inhalt des Anschreibens. Mache dir da mal keine Gedanken. Am Ende wird das manchen vielleicht nicht mal auffallen, ob da nun ein Datum in der Ecke steht oder nicht. Ich würde da nichts hinterherschicken. Anhand der E-Mail ist ja zumindest erkennbar, wann du die Bewerbung verschickt hast.