Alle drei Varianten sind falsch.

Es wird groß- und zusammengeschrieben, da eine Nominalisierung vorliegt.

= Beim Spazierengehen ...

Das Wort „beim“ weist auch schon darauf hin. Es setzt sich aus „bei“ und „dem“ zusammen. Das Wort „dem“ ist die deklinierte bzw. gebeugte Form eines Artikels und folgen danach ein Substantiv und Verb bzw. eine Verbindung aus Substantiv und Verb, dann ist es ein Wort, das groß- und zusammengeschrieben wird.

Weitere Signalwörter: am, zum, mit, im, vor, kein, ohne, der, die, das, ...

Beispiele für substantivierte Verben:

• Er benutzt ein Buch zum Lernen.
• Beim Laufen gerät er schnell außer Atem.
• Sie ist ständig am Nörgeln.

Oder weitere Verbindungen aus Substantiv und Verb:

• Das Fußballspielen macht ihm Spaß.
• Beim Autofahren muss man konzentriert sein.
• Ich wurde zum Kaffeetrinken eingeladen.