Antwort
warum nutzt man ihn?
Schau Dir die Animationen auf "https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe" an und dann sollte Dir klar sein, dass man nur in der Nähe des Entwicklungspunktes (der in den Animationen immer x0 = 0 ist) eine genügend große numerische Genauigkeit erreichen kann, wenn man nicht, wie in der Summenformel steht, bis Unendlich rechnet (was man ja auch nicht kann), sondern sich auf eine endliche, möglichst kleine Zahl von "k" beschränkt.
Anmerkung zur Frage:
In der Frage ist in der allgemeinen Form der Potenzreihe ein Faktor xk zu viel.