Der Reihe nach:

Da wurde ganz einfach e^x ausgeklammert (manchmal hilft vom Ergebnis her rückwärts rechnen dem Verständnis enorm)



Und die innere Klammer kann man dann auch weglassen

Satz vom Nullprodukt (Du Exponentialfunktion kann nicht 0 werden, also bleibt nur die Möglichkeit, dass der Faktor davor 0 wird):



Da verstehe ich die Frage ehrlich gesagt nicht wirklich: Wenn man auf ein Minimum prüfen will, prüft man in der Regel, ob f''(x) >0 an der Nullstelle der ersten Ableitung ist. Also berechnet man die 2. Ableitung (ist das Dein Problem?) und setzt dann die Nullstelle der 1. Ableitung ein, also hier f''(x = a -1) =f''(a - 1) (liegt Dein Problem hier?) und wie schon oben geschrieben, kann die Exponentialfunktion nicht null werden.