Kann ich damit zum einen auf eine bessere/stabilere Verbindung hoffen

Hoffen kannst Du, wahrscheinlich ist das aber eher nicht, denn ein neuer eigener Router ändert ja das Kabel nicht, das in Deine Wohnung führt. Das würde nur helfen, wenn Deine jetzige Box die Ursachen der Instabilitäten wäre.

und zum anderen kann ich die einfach anschließen

Kannst Du normalerweise einfach anschließen

und das geht oder muss ich vom Anbieter was benutzen?

Du musst nichts von Anbieter nutzen, da seit einigen Jahren gesetzliche "Routerfreiheit" herrscht. Allerdings wirst Du die MAC Adresse eines eigenen Routers bei Vodafone freischalten lassen müssen.

Konfiguriert sich das Teil dann von selber?

Nein, bei eigenen Routern wird vom Provider keine Provisionierung vorgenommen und Du musst alles selbst machen (wobei ich formulieren würde: "Man darf endlich alles selbst machen und der Provider kann nicht einfach bestimmte Funktionen des Routers deaktivieren")