h1 ist ja Kinetische Energie die Formel. Aber wie kommt man auf h2

In der Lösung wird nirgendwo mit der Energie gerechnet und erst recht nicht mit der kinetischen Energie. Die ganze Lösung benutzt nur die Bewegungsgleichungen für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Die Gleichung für h₁ beschreibt die Bewegung des fallenden Körpers (Stichwort: freier Fall), während h₂ die Bewegungsgleichung für den nach oben abgeschossenen Körper beschreibt (Stichwort: senkrechter Wurf).

Anmerkung: Etwas sehr unglücklich empfinde ich dabei allerdings, dass man das mit zwei Koordinatensystemen beschreibt.