Mit x₀ ist in der Mathematik zumeist ein beliebiger, aber für die weitere Betrachtung "fester" oder konstanter x-Wert gemeint. Mehr steckt da nicht dahinter.

Und die Definition von Stetigkeit ist eine Definition, die "punktweise" für jeden beliebigen Punkt einer Funktion f(x) festlegt, unter welchen Bedingungen die Funktion "stetig" genau in diesem beliebig gewählten Punkt genannt wird.