Du musst die Aufgabe mathematisch ausdrücken. In deinem Beispiel nennen wir mal die beiden Seiten des Rechtecks a und b.
Dein Flächeninhalt ist a x b. Du suchst die Werte a und b, für die a x b am grössten wird.
Du weisst schon: 2a + 2b = 20, das nutzt du, um nur noch EINE Unbekannte in deiner Optiierungsgleichung zu haben: Durch Umformung bekommst du 2b = 20 - 2a, oder b = 10 - a
Du suchst jetzt das Maximum für die Funktion f(a) = a x (10 - a) = 10a - a^2 oder -a^2 + 10a
(a^2 ist eine Schreibweise für "a hoch 2" oder "a Quadrat")
Diese Funktion f(a) kannst du ableiten ... das Maximum oder Minimum einer Funktion ist die Stelle, an der ihre Steigung waagrecht ist, also die erste Ableitung null wird. Funktionen habt ihr bestimmt schon mal durchgenommen, wenn solche Optimierungsaufgaben gestellt werden, guck dir nochmal die Parabel f(x) = x^2 an, falls du's nicht mehr präsent hast.
Ob diese Nullstelle der ersten Ableitung ein Maximum oder ein Minimum ist, kann man per Angucken entscheiden, wenn man sich die Funktion hinzeichnet - oder, indem man die 2. Ableitung bildet: wenn die 2. Ableitung positiv ist, handelt es sich um ein Minimum, wenn sie negativ ist, um ein Maximum.
Erste Ableitung ist -2a + 10 - die wird null wenn 2a = 10, oder a = 5
(b ist 10-a, siehe oben, d.h. b ist auch 5)
Zweite Ableitung ist -2, d.h. negativ - also ist dein Ergebnis tatsächlich ein Maximum und kein Minimum.
Das Rechteck mit dem grössten Flächeninhalt ist also ein Quadrat von 5 x 5 cm.
