Die Antwort kommt ein paar Jahre zu spät. Ich hoffe inzwischen liegt das Parkett und die Antworten hier haben nicht verunsichert. Parkett ist immer schöner/ natürlicher als Laminat.
Zuerst sollte der Begriff "Parkett" geklärt werden.
Parkett im ursprünglichen Sinn - wie die meisten es hier verstehen - ist Massivparkett. D.h. Es besteht vollständig aus einer Lage Holz.
Der Begriff "Parkett" wird heute aber auch von vielen verwendet, wenn sie von Fertigparkett sprechen. Fertigparkett besteht aus mehreren Lagen Holz. Jede Lage Holz ist dabei quer zur nächsten Lage verleimt. Dies minimiert das Verziehen der einzelnen Stäbe. Unterschieden wird hier noch in 2- bzw. 3-Schicht-Fertigparkett.
Parkett als Massivparkett MUSS mit dem Untergrund verbunden werden. Im Normalfall wird es verklebt. Dielen können aber z.B. auch geschraubt oder mit Klemmen befestigt werden. Dies geschieht auf dem Estrich bzw. einer Holz-Unterkonstruktion. Alles andere muss entfernt werden. ALSO Teppich raus.
2-Schicht-Fertigparkett MUSS verklebt werden. Direkt auf Estrich. Teppisch raus.
3-Schicht-Fertigparkett KANN verklebt oder schwimmend verlegt werden. Bei Verklebung: Direkt auf Estrich. Teppich raus. Schwimmend heißt, das Fertigparkett wird nur zusammengeklickt und so auf den Boden verlegt und nicht mit dem Untergrund verbunden. Dies geschieht immer auf einer Trittschalldämmung. Evtl. noch eine Dämpfbremse (z.B. Neubau, wenn der Boden noch Feuchtigkeit enthält. Wenn Zimmer über nichtbeheißtem Keller ist, ... ) Dies soll verhindern, dass Feuchtigkeit vom Boden in das Holz gelangt und dieses zum Quellen bringt.
Teppich ist so eine Sache. Langhaariger muss immer entfernt werden. Das ist ein zu weicher Untergrund. Der Untergrund muss immer eben und fest sein. Sehr kurzfloriger Teppich hängt von der Freigabe des Herstellers ab - bei schwimmender Verlegung. Es sollte immer beim Händler bzw. Verleger nachgefragt werden.
Es ist eher eine hygienische Frage. Unter dem Fertigparkett staut sich die Wärme die nicht entweichen kann. Ein idealer Nährboden z.B. für Milben. Einzige Möglichkeit zum Entweichen ist der einzuhaltende Abstand zu allen festen Gegenständen --> Wände... Milbenstaub und anderes wird mit jedem Schritt unter der Sockelleiste hervorgepustet. Allergiker "freuen" sich über diesen Boden!
Also lieber gleich den Teppich entfernen, um späteren Ärger zu vermeiden.