Berechnung der Höhe eines Kegelstumpfes bei gegebener Grundfläche, Volumen und Seitenwinkel?

Hallo Geometriefans, da die Schule nun schon viele Jahre zurückliegt, versuche ich nun schon seit 3 Tagen erfolglos dieses Problem zu lösen.

Ein Freund und ich sind beim Bier am Baggersee auf folgendes Problem gestoßen. Man nehme an, man kennt den Oberflächeninhalt eines idealerweise kreisrunden Sees. Zusätzlich sind auch noch das Volumen des Sees bekannt und der Böschungswinkel kann ja gemessen werden (es geht idealerweise überall am See gleichmäßig „steil“ rein).

Anhand dieser Angaben muss es doch möglich sein, die Tiefe des Sees zu bestimmen. Ich dachte, dass diesen Annahmen nach ein umgedrehter Kegelstumpf eine gute Annäherung wäre. Nur stoße ich hier auf das Problem, dass die Formel die ich nach h (der Höhe) umstellen möchte noch zusätzlich den Radius (r) der unbekannten Deckfläche enthält. Wie nun aber weiter? Ich habe schon versucht mit rechtwinkligen Dreieck und Pythagoras usw. die Höhe eines Kegels zu bestimmen und von da dann auf die Höhe des Stumpfes zu schließen, irgendwas fehlt jedoch immer. Die Formel lautet: V = h * Pi/3 * (R²+R*r+r²) wobei R der Radius der Grundfläche, r der Radius der Deckfläche, h die Höhe und V das Volumen ist.

Ist das Problem unlösbar oder bin ich einfach zu …? Vielleicht hat ja jemand einen guten Link zum Thema oder sogar einen Lösungsansatz. Vielen Dank!

Mathematik, Geometrie, Naturwissenschaft
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