Etwas Generelles vorneweg: Ein bestimmtes Integral (also eines mit Grenzen "von" und "bis") gibt nicht den FLÄCHENINHALT, sondern die FLÄCHENBILANZ eines Graphen zu einer Funktion an. Die Flächenbilanz ist nur dann betragsmäßig gleich dem Flächeninhalt, wenn der Graph entweder komplett oberhalb oder komplett unterhalb der x-Achse verläuft. Die Flächenbilanz wird - bei Integration "von links nach rechts" - negativ, wenn im betrachteten Intervall mehr "Negatives", also Flächen unterhalb der x-Achse, als Positives, also Flächen oberhalb der x-Achse, aufsummiert werden. In der Praxis muss man also zunächst sicherstellen, dass die Funktion im Integrationsbereich keine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat - oder falls doch, muss man die Teilstücke zwischen den Rändern und den Nullstellen alle einzeln berechnen, wenn man den Flächeninhalt will.

Und nun konkret zur Aufgabe: Der Graph der betrachteten Funktion f(x) = 2/(x-1)^2 verläuft komplett oberhalb der x-Achse und es soll von k bis 2 integriert werden. Für ein k, das größer als 2 ist, integrieren wir also hier von rechts nach links, was das Vorzeichen der Flächenbilanz ändert. Schon dadurch (Graph nur oberhalb, Integration von rechts nach links) wird deutlich, dass die Flächenbilanz negativ sein muss. Offensichtlich sollte in der Aufgabe noch das Verhalten für den Fall untersucht werden, dass man k beliebig groß werden lässt. Dieses uneigentliche Integral wird richtig als Grenzwert -2 berechnet. Da der Graph zwischen 2 und unendlich keine Nullstelle hat, bedeutet das anschaulich, dass der Graph mit der x-Achse im Bereich von 2 bis unendlich ein endliches Flächenstück mit dem Flächeninhalt 2 einschließt. Gruß, Oli

Sei x mein Alter heute, y das Alter von Ina heute.

Aus "Ich bin dreimal so alt wie Ina" folgt:

(I) x = 3y

Zwischenüberlegungen: Wenn Ina doppelt so alt ist wie jetzt... bis dahin ist sie also nicht mehr y, sondern 2y Jahre alt.... es sind also y Jahre bis dahin vergangen, ich bin bis dahin x + y Jahre alt.

Zusammen sind Ina und ich dann 78, es gilt also:

(II) x + y + 2y = 78, oder vereinfacht x + 3y = 78.

Setzt man (I) in (II) ein, erhält man 3y + 3y = 78 bzw. x + x = 78.

Also sind 6y = 78 <=> y = 13 und 2x = 78 <=> x = 39.

Gruß, Oli

Die Funktionen mit Funktionsgleichungen vom Typ f(x) = p(x) / q(x) sind auf jeden Fall dort nicht definiert, an denen die Nennerfunktion q den Wert Null annimmt. Alle Nullstellen des Nenners können kein Mitglied der Definitionsmenge sein. Sind zum Beispiel die Nullstellen des Nenners 3 und 5, etwa wenn der Funktionsterm (x^2 + 1) / ((x-3)(x-5)) lautet, dann ist die Definitionsmenge D = IR \ {3;5}. Dein konkretes Problem liegt allerdings darin, dass Du den Begriff "Menge" und "Mächtigkeit" verwechselst. Die MÄCHTIGKEIT einer Menge ist die Anzahl ihrer Elemente, also z. B. bei der Menge {3; 5} ist die Mächtigkeit 2. Die Definitionsmenge ist allerdings die Grundmenge (im vorliegenden Fall IR) ohne die MENGE der Definitionslücken (im vorliegenden Fall {3;5}). Zusammengefasst:D = IR \ {3;5}. Gruß, Oli