Nimm die Mitternachtsformel / abc-Formel...

Wenn du eine Funktion der Form f(x)=ax²+bx+c hast, sind die Nullstellen so zu berechnen:

x1: (-b+sqrt(b²-4ac)) / 2a

x2: (-b-sqrt(b²-4ac)) / 2a

sqrt bedeuet die Wurzel von der Zahl in der Klammer.

Bei deinem Beispiel f also:

(4 + sqrt((-4)²- 4* 1 * -5)) / 2*1

und

(4 - sqrt((-4)²- 4* 1 * -5)) / 2*1

das sind deine zwei gesuchten x, an welchen f(x) eine Nullstelle hat.

Zuerst würde ich einmal die Geradengleichung von AB aufschreiben. Also

B-A als Steigung und A als Anfang:

(-3,1,4)+s(1,1,2)

Jetz brauchst du nur noch den Punkt a, welcher ja durch diesen Vektor gehen muss. Also:

(-3,1,4)+s(1,1,2)

Dies gibt also einen Vektor an, der jeweils vom Punkt A um die "Steigungen" (1,1,2) mit der Entfernung s weggehen. Somit als s = sqr(24) eingeben und du solltest meiner Meinung nach auf das Ergebnis kommen.

Das ganze ohne Gewähr... :)

Nun, man muss sich eigentlich nur klar machen, was die Ableitung einer Funktion bedeutet. nämlich dass es die Steigung einer Funktion an einer beliebigen Stelle ist.

Bei der Untersuchung nach Monotonie ist es nun so, dass diese Steigung das Vorzeichen wechselt. Als einfaches Beispiel nehmen wir f(x)=x².

Die Ableitung der Funktion ist, wie hoffentlich bereits gelernt, f'(x)=2x.

Das vorzeichen der Funktion wechselt ja somit bei x=0. (Bei x die tiefer als 0 sind, ist das Vorzeichen negativ, bei x > 0 positiv).

Und - wer hätte es gedacht - die Ursprungsfunktion f(x)=x² ändert genau bei x=0 ihr Monotonieverhalten. Vorher ist die Funktion nähmlich sinkend (wie auch die Ableitung zeigt, welche für negative x immer negativ ist) und für positive x steigend (Auch dies bestätigt die Ableitung da sie Positiv ist für positive x).

Um eine Monotonie nachzuweisen musst du also "nur" die Nullstellen der Ableitungen finden und wissen, wie die Vorzeichen vor und nach dieser Nullstellen sind.

Die Ableitungsfunktion ist schlussendlich nichts anderes als den Differenzenquotienten...

Du hast eine Funktion f(x). Angenommen du suchst jetz die Ableitung der Funktion x0, also f'(x0).

Nun nehmen wir eine Sekante der Funktion an, welche durch den Punkt f(x0) und f(x0+h) geht (Falls dir de Begriff Sekante nichts sagt, das ist einfach eine Gerade welche durch zwei Punkte der Funktion geht).

Die Steigung dieser Sekante ist dann:

( f(x0+h) - f(x0) ) / ( (x0+h) - x(0) ) => ( f(x0+h) - f(x0) ) / h

Ich hoffe, du weisst wie man die Steigung von zwei Punkten ausrechnet, mehr habe ich oben nämlich nicht gemacht. Die x0 im Nenner kann man streichen weil x0+h-x0 = h.

So, was haben wir nun. Im Zähler eine Differenz und das ganze ein Bruch: Ein DIFFERENZENquotient. :)

Nun haben wir also die Steigung durch zwei Punkte einer Gleichung. Die Steigung einer Tangente (sprich die Ableitung) einer Funktion ist dann dasselbe, wie wenn diese zwei Punkte unendlich nahe aneinander liegen.

Wenn sich also die zwei Punkte immer näher kommen, nähert sich die Steigung dieser Geraden der Ableitung.

Also ist die Ableitung von einer beliebigen Funktion:

(1) f'(x0) = lim h -> 0 (( f(x0+h) - f(x0) ) / h)

Das "lim h-> 0" bedeutet, dass wir das "h" gegen 0 laufen lassen, also wie gewollt, dass sich die Punkte immer näher kommen. (Eine kleine Romanze so zu sagen) Ich hoffe du kannst mir noch folgen, zur Vereinfachung hier ein Beispiel:

Die Funktion sei z.B. f(x)=x²

Gemäss der Definiton (1) ist somit die Ableitung der Funktion an der Stelle x0:

f'(x0) = lim h->0 ((x0+h)²-x0²) / h

Wir klammern ein Bisschen aus und kommen auf:

f'(x0) = lim h->0 ((x0² + 2x0h +h² -x0²) / h

das x0² fällt weg und es folgt:

f'(x0) = lim h->0 2x0h+h² / h

Wunderschönerweise können wir hier ein h ausklammern und anschliessend kürzen und es folgt:

f'(x0) = lim h->0 2*x0+h

Wegen dem "lim h->0" wird das h nun unendlich klein, es verschwindet im Nirvana der Zahlen, und es folgt:

f'(x0) = 2*x0

Was ja bekanntlicher weise Stimmt.

Diese Tatsache ist besonders bei der Lösung von Differentialgleichungen und bei Integralrechnungen oftmals sehr von Vorteil, aber das ist ein anderes Thema. :)