Ich würde eine Abgrenzung zum Zivilrecht empfehlen und das anhand von einem Beispiel deutlich machen, etwa:
Wenn ihr euch was kauft, dann trefft ihr dort andere Bürger, die euch die Sachen verkaufen, auch ihr selbst könnt, etwa auf einem Flohmarkt hinstellen und Sachen an andere verkaufen und wenn ihr gerade Zeit habt, mal bei den anderen gucken, was die so haben. Wenn dir ein noch neu verpacktes Handy verkauft wird, in dem Display aber unerkannt ein Bruchschaden ist, dann darfst du im Zweifel das Handy wieder umtauschen. Genauso hat auch jemand der bei dir etwas als neu verpacktes kauft, ein Anrecht auf eine mangelfreie Sache. Auch bei gebrauchten Sachen dürft ihr Mängel, die man nicht erwarten kann, nicht verschweigen. Den Preis dürft ihr auch selbst festlegen. Ihr seid grundsätzlich gleichgeordnete Akteure mit gleichen Rechten und Pflichten gegenüber jedermann.
Stellt euch jetzt vor, ein Polizist ist ebenfalls auf dem Flohmarkt und hat ebenso einen Stand. Auch er kann seine Sachen verkaufen und an eurem Stand vorbeikommen und sich Sachen von euch kaufen. Das ändert aber nichts daran, dass er ja eigentlich Polizist ist. Auf dem Flohmarkt ist er im Verhältnis zu euch aber ebenfalls gleichgeordnet. Auch Bundeskanzlerin Merkel kann sich auf eurem Flohmarkt einfinden und Dinge kaufen und verkaufen. Hier ist auch sie im Verhältnis zu euch gleichgeordnet. Ihr dürftet von ihr verlangen, eine mangelhafte Sache zurückzunehmen oder auszutauschen. In diesem gleichgeordneten Verhältnis spricht man vom bürgerlichen oder Zivilrecht; eben zwischen Bürgern untereinander.
Der Polizist ist aber nicht immer auf dem Flohmarkt und verkauft Sachen, sondern er ist ja auch Polizist und muss seinen Dienst tun. Er trägt dann auch in der Regel seine Uniform und darf eine Waffe tragen. Dann kann es passieren, dass er etwa auf eure Eltern zugeht und sagt, dass ihr Auto im Halteverbot steht und sie es wegzufahren hätten. Dann ist das kein gleichgeordnetes Verhältnis mehr. Der Polizist ist zwar auch ein Bürger genauso wie deine Eltern, er repräsentiert aber bei solchen Diensthandlungen den Staat. Ein Halteverbot wird behördlich festgelegt und durch die Polizei und Ordnungsbehörden durchgesetzt, eben indem der Falschparker wegfahren muss oder auch ein Ticket bekommt. Es herrscht ein Über- und Unterordnungsverhältnis. Das Halteverbot ist durch den Staat festgelegt, die Höhe der Geldbuße ebenso. Der Staat tritt so, etwa durch den Polizisten, befehlend gegenüber dem Bürger auf. Der Bürger hat sich an diese Regeln zu halten und kann sie nicht unmittelbar mitgestalten. Das geht in unserer Demokratie nur dadurch, dass er sich selbst am Staat beteiligt, sich etwa zur Wahl stellen lässt und versucht über die zuständigen Ebenen (Kommune, Land, Bund) mitzugestalten. Oder er wird selbst Polizist, um den Staat auch zu repräsentieren, auch dann ist er aber an das bestehende Recht gebunden und kann nicht selbst bestimmen, was verboten ist. Dieses Verhältnis zwischen Falschparker und Polizist ist ein Verhältnis zwischen Bürger und Staat und nennt sich öffentliches Recht.
Auch Bundeskanzlerin Merkel ist wenn sie nicht gerade auf Flohmärkten bummelt, sondern ihrem Job nachgeht, maßgeblich durch öffentliches Recht gebunden. Sie ist zwar keine Polizistin, weshalb es sie regelmäßig nicht interessieren wird, ob deine Eltern im Halteverbot stehen. Auch ihre Tätigkeit wird aber durch das öffentliche Recht beschrieben. Ihre Stellung als Kanzlerin in der Bundesregierung und ihre Richtlinienkompetenz in der Politik werden durch das Grundgesetz, unsere Verfassung, festgelegt. Sie hat verschiedene Rechte und Pflichten. Im Kriegsfalle wäre sie etwa unseren Soldaten als oberste Befehlshaberin vorgesetzt. Obwohl sich ihre originären Tätigkeiten maßgeblich von denen eines Polizisten im Alltag unterscheiden repräsentiert auch sie dabei den Staat. Damit Der Polizist selbst wiederum sich an die Regeln hält und auch Frau Merkel Ihre Arbeit tut, gibt es fein ausdifferenzierte Regelungen, die das Verhältnis von solchen Trägern öffentlichen Rechts bestimmen. All das beschreibt das öffentliche Recht. Wenn sie nach einem langen Arbeitstag aber nach Hause gehen und auf dem Heimweg noch schnell bei der Bäckerei ein Brötchen kaufen, dann sind sie in dem Verhältnis nach wie vor Bürgerin und Bürger.