JA, das kannst du, allerdings erst ab 15 jahren bei den meisten therapeut*innen. dafür brauchst du, wie du schon schreibst, lediglich deine versichertenkarte und eine therapieperson, die über gesetzliche krankenkassen abrechnet.
die meisten therapeut*innen wollen außerdem anfangs ein erstgespräch mit einem elternteil bzw den eltern, wenn du allerdings erwähnst, dass du das gerne alleine machen würdest, dann dürfte das auch so gehen. sollte der*die therapeut*in keinen behandlungsplatz haben, du aber trotzdem dort ein erstgespräch geführt hast, dann bekommst du (soweit ich das weiß) einen bogen zugesendet, auf dem verdachtsdiagnosen, therapiemethoden und dringlichkeit stehen, der kommt normalerweise per post. auch hier kannst du darum bitten, das per mail zu bekommen.
außerdem gibt in der regel alle 4-6 therapiesitzungen elterngespräche, bei denen auch die eltern mit einbezogen werden und erklärt wird, wie die eltern unterstützen können. soweit ich weiß kann auch das sehr selten statt finden, wenn es da z.b. konfliktsituationen gibt und ich denke auch, dass dies ganz aussetzen kann.
ergänzend möchte ich dazu noch sagen, dass meistens größere konfliktsituationen dahinter liegen, wenn du mit deinen eltern auf keinen fall darüber sprechen möchtest - aus welchen gründen auch immer, ich spreche da auch aus eigener erfahrung. es wäre sicher sehr gut, das früher oder später auch anzusprechen, denn sonst kann eine therapie gegebenenfalls nicht vollständig wirksam sein.