Es stellt sich die Frage, wo das Netz des Zugangsanbieters endet (Diese Schnittstelle wird NTP genannt). Also ob die Fritzbox zum Netzwerkbetreiber oder zum Heimnetz gehört. Das deutsche Gesetz trifft in diesem Punkt keine klare Aussagen, sodass diese Entscheidung bei dem jeweiligen Anbieter liegt. Doch nach dem EU-Recht endet es vor dem Router. Deswegen ist es nach dem EU Recht so, das der Anbieter eigentlich nicht bestimmen darf welchen Router Sie anschließen. Er muss jedoch für den Internetanschluss sorgen. Bei einem fremden Router wird der Anbieter allerdings keinen Services bei Problemen anbieten.
Die Frage nach dem praktischem Umgang gestaltet sich wiederum etwas schwieriger. Da Sie wahrscheinlich einer Vertragslaufzeit unterliegen werden Sie nicht einfach den Anbieter wechseln können, was der einfachste Weg wäre (wobei bei recht vielen Anbietern Routerzwang herrscht, da sie sonst Angst vor vielen technischen Problemen haben). Ich habe bis jetzt auch noch kein Gerichtsurteil gefunden wo ein Beispielurteil gefällt wurde, weshalb es sich schwierig gestaltet sich darauf zu berufen. Die deutsche Gesetzgebung tut sich in diesem Punkt auch immer etwas schwer sich zu verändern. Zum Sommer 2016 ist zu diesem Punkt eventuell eine Rechtskräftige Aussage in Aussicht. Für sie allerdings zu spät. =)
Da Sie sich nichts bezüglich Vertragslaufzeiten, ect. geschrieben habe kann ich bezüglich Ratschlägen nur ins blaue Raten. Wenn ich es richtig verstanden habe ist der zur Verfügung gestellte Router vom Anbieter nicht funktionstüchtig. Deswegen würde ich versuchen ihn zu reklamieren und wenn dies nicht funktioniert würde ich den Anbieter aufgrund einer nicht bereitgestellten Dienstleistung Kündigen, da sie immer noch kein Internetanschluss haben und er es nicht schafft den am Anfang gelieferten Router zu reparieren. (Beachte dabei allerdings, das bei diesem Kündigungsgrund noch zwei Wochen Zeit hat, den Internetzugang zum Laufen zu bringen.)
Ich hoffe ich konnte Ihnen weiterhelfen.