Ich glaube, dass deine Chefin nicht ganz korrekt ist und Geld sparen will. Die Aussage, wegen der Krankenkasse kann so nicht stimmen.
Dein Job ist ein Minijob, also bist Du niocht persönlich versichert, obwohl Renten- und Krankenversicherung, auch Steuern bezahlt werden - deine Chefin zahlt eine Pauschale.
Ob sie nun zum 23. des Monats abrechnet, oder zum Letzten des Monats, ist eigentlich egal, nur stimmen muss es. Wenn dir Arbeit und Arbeitsklima gefällt, setze dich höflich, aber bestimmt mit deiner geleisteten Stundenzahl durch.
Wenn dir die Arbeit sowieso nicht gefällt, such einen anderen Job und kündige dann, wenn Du einen anderen (vllt. besseren) Job hast.
Notfalls kannst Du auch zum Arbeiutsgericht, kostet dich nichts, Arbeitsgericht ist kostenfrei, auch wenn Du verlieren solltest. Also kein finanzielles Klagerisiko. Du kannst auch zum Arbeitsgericht gehen, nachdem Du die Stelle gewechselt hast.