Die Gleichung x·ex=a läßt sich elementar nicht nach x auflösen.
Du musst dazu ein numerisches Verfahren (zum Beispiel das Newton- oder Intervallhalbierungsverfahren) verwenden.
Da die Gleichung jedoch immer wieder mal auftaucht, gibt es Tabellen für die Lösung: die sogenannte Lambert'sche W-Funktion. (Manche Computerprogramme, zum Beispiel TTMathe haben diese Funktion integriert.)
Beachte jedoch, dass es für -1/e « a « 0 zwei Lösungen gibt.
Beispiele: a) x·ex=2,2 => x=0,897 b) x·ex=-0,1 => x1=-0,112 und x2=-3,577 y=xexp(x)
Hinweis für Programmierer: Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, kann man für jeden y-Wert die Nullstelle der Hilfsfunktion h(x) = x·ex - y berechnen. Für y > 0 ist das Newtonverfahren das geeignete, für y < 0 nicht, da die Funktion h bei -1 eine waagrechte Tangente hat. Mit dem Intervallhalbierungsverfahren ist die Ermittlung der Nullstelle von h jedoch kein Problem. Für den Hauptwert lam(y) beginnt man mit dem Intervall (-1,0) für den Nebenwert Lam(y) mit dem Intervall (x,-1), wobei x < -1 so "eingefädelt" wird, dass h(x) positiv ist, da h(-1) negativ ist.
Viele andere Gleichungen lassen sich auf diese Fragestellung zurückführen:
Dazu muss man beachten x·ex = a => x = lam(a).
Für -1/e < a < 0 gibt es noch die 2. Lösung x = Lam(a)
Die Lambertsche W-Funktion y=lam(x) Hauptzweig der Lambertsche W-Funktion
y=Lam(x) Nebenzweig der Lambertsche W-Funktion lambert.gif lam_neben.gif
Mehr zur Lambert'schen W-Funktion siehe MathWorld
Beispiel 1: x - x 3 1 - - 3·e = - -x 3 e => x·e = -3e
x z
Substitution z = - - führt auf die Gleichung: z·e = e 3
Die Lösung ist z = lam(e)=1 und somit x = - 3·lam(e) = -3
Beispiel 2: x x·b = a (a>0, b>0)
x xlnb xlnb
Lösung: Mit b = e lautet die Gleichung x·e = a
z z
Substitution z=xlnb führt auf ———·e = a
lnb
z
Fertig! z·e = a·lnb
Die Lösung lautet: z = lam(a·lnb) (Für a>0,b>0 genau eine Lösung)
Rücksubstition: xlnb = lam(a·lnb)
lam(a·lnb)
Ergebnis: x = ——————————
lnb
x lam(10ln2)
Zum Beispiel: x·2 = 10 hat die Lösung x = —————————— = 2,190 601 218
ln2
Beispiel 3: x + lnx = a
x + lnx a u + v e v lnx
Lösung: e = e . Mit e = e ·e und e = x folgt:
x a a
x·e = e . Lösung: x = lam(e )
2
Zum Beispiel: x + lnx = 2 hat die Lösung x = lam(e ) = 1,557 146
Beispiel 4: a·x + b·lnx = c a c -x + lnx - a c b a Lösung: -x + lnx = - => e = e => b a
a c
-x -
b a a
x·e = e Substitution: z = -x
b
c c
- -
b z a z a a
-z·e = e => z·e = -·e . Fertig!
a b
c
-
a a
z = lam( -· e ) und somit:
b
c
-
a a
b·lam(-·e )
b
Also: x = —————————————
a
1 3
Zum Beispiel: 2x+lnx=3 hat die Lösung: x = -lam(2e ) = 1,349 962
2
2x 3 3
Der Geübte rechnet: 2x+lnx=3 => 2x·e = 2e => 2x=lam(2e ) Fertig!
Beispiel 5: ax + q· log x = c, wobei log der Logarithmus zur Basis p sei. p p
lnx q
Mit log x = ——— und b = ——— kann man wie in Beispiel 4 rechnen. p lnp lnp
Beispiel 6: x a a lna a = x hat die Lösung x = a und x = - ———lam(- ———) für x,a > 0. lna a
x a
Herleitung: a = x => xlna - alnx = 0. Nun kann man wie in Beispiel 4 rechnen:
lna
- ———x
lna a lna a - ———x - lnx =0 => xe = 1. Substitution z = - ———x oder x = - ———z ergibt: a a lna
z lna