Sorry, aber der Englischlehrer hat recht.

Hier http://en.wiktionary.org/wiki/greet findet sich "greet" allgemein nicht als Nomen, sondern nur als Verb (Ausnahme: "greet" als "cry" oder "mourning"). 

Ich selbst lebe seit 6 Jahren in London und habe "greets" noch nie von einem native speaker gehört, in deutschen Emails hingegen recht häufig.

"Greets" is Unsinn; besser "greetings" oder "regards".