Hallo.

Ja, die Sache mit der Spur zieht sich in der Tat sehr inkonsistent durch die Romane.

1)
Die Theorie, dass die Spur beim Durchschreiten der magischen Barriere zum Gleis 9 ¾ auf minderjährige Hexen und Zauberer gelegt wird, finde ich logisch. Es ist die einfachste und pragmatischste Lösung, da die Schüler seit circa 1830 mit dem Hogwarts-Express anreisen müssen. Der Erlass zur vernunftgemäßen Beschränkung der Zauberei Minderjähriger wurde dagegen erst 1875 verabschiedet.
Ob die Spur jährlich aufgefrischt werden muss, kann ich nicht sagen. Wahrscheinlich handelt es sich dabei um einen Langzeitzauber, ansonsten hätten wir in „Kammer des Schreckens“ sicherlich mitbekommen, wie die Spur nachträglich über Harry und Ron gelegt worden wäre.
Dadurch würde zudem erklärt, weshalb Hermine vor Beginn ihres ersten Jahres ungestraft Zauberei üben kann, die Spur hätte zu diesem Zeitpunkt noch nicht auf ihr gelegen.     

Muggelgeborene werden allerdings nicht über die Spur ermittelt. In Hogwarts befinden sich zwei magische Relikte: the Quill of Acceptance and the Book of Admittance. Die Feder reagiert jedes Mal, wenn ein Kind, egal ob aus einer Zauberer- oder Muggelfamilie, magisches Talent zeigt, und will dessen Namen in das Buch schreiben, während das Buch die Feder den Kindsnamen erst in sich eintragen lässt, wenn das Kind ein gewisses magisches Potenzial bewiesen hat. Dadurch werden bspw. Squibs, die durchaus eine leichte Magiebegabung haben können, ausgeschlossen. Hogwartsbriefe erhalten nur jene Kinder, die im Book of Admittance stehen.    
https://www.pottermore.com/writing-by-jk-rowling/the-quill-of-acceptance-and-the-book-of-admittance

2)
Eine ausgezeichnete Frage, wie ich finde. Du hast freilich vollkommen recht, dass Tom Riddle zu diesem Zeitpunkt noch minderjährig war. Leider ist selbst die Erklärung in „Halbblutprinz“ äußerst dürftig. Harry spricht Dumbledore darauf an, weshalb Morfin Gaunt dieser Morde beschuldigt worden wäre, obwohl das Ministerium Magie Minderjähriger aufspüren könne. Dumbledore erklärt daraufhin (sehr unzureichend, wie ich meine), dass Harry damit zwar recht habe – womit zeitgleich bestätigt wird, dass es die Spur bereits zu Riddles Zeiten gab –, aber dass das Ministerium eben nur Magie, die in der Nähe Minderjähriger gewirkt wird, aufspüren könne, nicht den eigentlichen Urheber. Unzureichend ist diese Erklärung natürlich insofern, dass Morfin nicht minderjährig war, die Spur ergo gar nicht erst hätte anschlagen können. Eine Möglichkeit wäre, dass es in Little Hangleton zufällig noch einen anderen minderjährigen Zauberer gab, wodurch Riddles Spur überdeckt worden wäre.  
Natürlich möchte ich nicht ausschließen, dass Riddle, als einer der brillantester Zauberer überhaupt, einen Weg gefunden hat, die Spur auszutricksen, aber persönlich fände ich diese Erklärung ziemlich lahm. Theoretisch könnte sich das Ministerium die Spur auch gleich schenken, wenn jeder halbwegs talentierte Zauberer diese brechen könnte.
Wie also ist Riddle von London nach Little Hangleton gekommen? Nun, London ist eine große Metropole und es ist absolut ausgeschlossen, dass Riddle der einzige Zauberer in dieser Stadt war. Man weiß nicht, wie groß der Radius der Spur ist, davon ausgehend wie es bei Harry ist, scheint dieser einige Kilometer zu betragen; in einer Stadt wie London wird es dementsprechend fast unmöglich sein, Minderjährige der Zauberei zu überführen. Riddle musste sich also nur vom Waisenhaus wegbewegen, bspw. Richtung Winkelgasse oder zum Grimmauldplatz – Cygnus und Orion, beide ihrerseits noch minderjährig, sowie Walburga und Lucretia Black waren zu verschiedenen Zeiten Mitschüler Riddles und möglicherweise mit ihm „befreundet“. Wäre er von dort aus bspw. appariert oder hätte sich einen Portschlüssel erschaffen, hätte das Ministerium lediglich gewusst, dass soeben in der Nähe eines Minderjährigen gezaubert wurde.
Bei Mrs Cole sehe ich selbst kein Problem. Riddle hat sie und das Waisenhaus gehasst und diese Abneigung wurde leidenschaftlich von Mrs Cole erwidert. Ich stelle mir Riddle nicht als jemanden vor, der den ganzen Sommer freiwillig in seinem Zimmer im Waisenhaus verbracht hat, wenn er in die Winkelgasse gehen und sich durch die Auslage bei Flourish and Blotts lesen konnte. Vermutlich war es nicht ungewöhnlich, dass Riddle den ganzen Tag unterwegs war, und Mrs Cole wird das recht gewesen sein.  

Wie es Riddle gelungen ist, Morfin für seine Taten zu diskreditieren, ist tatsächlich das größere Frage. Ich denke, dass sich niemand im Ministerium die Mühe gemacht hat, der Sache ordentlich nachzugehen, was du selbst bereits andeutest. Zunächst kann man die 40er nicht mit der heutigen Zeit oder den 90ern vergleichen. Morfin war dem Ministerium ein Dorn im Auge, er war verrückt, aggressiv, für seinen Muggelhass bekannt und saß wegen einem Angriff auf Riddle Sr. schon einmal drei Jahre in Askaban ein. Der Mord an den Riddles war ein Skandal in der magischen und nichtmagischen Bevölkerung und das Ministerium brauchte wahrscheinlich schnell einen Buhmann, um sein hartes Durchgreifen demonstrieren zu können. Und es gab nun einmal nicht viel, das für Morfins Unschuld gesprochen hätte, er war vorbelastet, die Morde wurden mit seinem Zauberstab ausgeführt, er hatte die Möglichkeit und das Motiv, darüber hinaus gestand er die Morde stolz ein, weil Riddle sein Gedächtnis manipuliert hatte. Das Ministerium hatte demgemäß keinen Grund, den Tathergang zu hinterfragen. Ja gut, Riddles Spur, aber das wird kaum relevant gewesen sein. Man weiß nicht, was im Ministerium passiert, wenn ein Minderjähriger zaubert, sie wissen es einfach irgendwie, hätten aber keine Möglichkeit gehabt, Riddle als wahren Täter ausfindig zu machen, weil die Spur zwar an die Person, aber nicht die Identität gebunden ist. Es hätte jeder Minderjährige aus dem ganzen Königreich und Irland sein können. Wieso sollte man die Sache verkomplizieren, wenn es doch so eine einfache Lösung gibt? Außerdem werden gewisse Taten Kindern/Jugendlichen aus Prinzip nicht zugetraut, der kaltblütige Mord an drei Menschen gehört sicherlich dazu.  

3)
Hmm, das ist tatsächlich schwierig. Ich finde deine Argumentation absolut logisch, deine Verwirrung demensprechend nachvollziehbar, weil sich meines Wissens nicht überwachen lässt, wohin man appariert, aber womöglich irre ich mich hierbei auch und es lässt sich doch verfolgen. Die Frage wäre dann aber, wieso Scrimgeour in „Heiligtümer des Todes“ nicht wusste, wohin Dumbledore mit Harry in „Halbblutprinz“ appariert war. Aber gut, vielleicht waren die Schutzzauber über der Horkrux-Höhle zu mächtig und schirmten die Spur ab. Lahme Erklärung! *seufz*
Ich glaube jedoch, es ging in erster Linie darum, Harry unbemerkt aus dem Ligusterweg zu schmuggeln, um einen Angriff zu vermeiden. Er war im Haus seiner Tante und seines Onkels geschützt, solange er noch nicht volljährig war oder diesen Ort als Heim bezeichnen konnte. Die Wege der Dursleys und von Harry trennten sich an diesem Tag jedoch für immer, der Ligusterweg war offiziell nicht mehr Harrys Zuhause, wodurch Lilys Schutz vorzeitig an Wirkkraft verlor. Sprich, die Todesser oder der Dunkle Lord hätten problemlos einmarschieren und ihn töten können. Laut Moody spekulierten die Todesser außerdem darauf, dass Harry bis zu seinem siebzehnten Geburtstag im Ligusterweg fest- und danach quasi in der Falle sitzen würde.

4)
Ebenfalls eine spannende Frage. Eigentlich lässt sich das nur damit erklären, dass Harry vom Ministerium überwacht wurde. Grund hätte es aus Fudges Sicht sicherlich gegeben, weil Harry zu diesem Zeitpunkt Staatsfeind Nr. 2 war. Dazu gibt es übrigens die interessante Theorie, dass Mrs Figg eine Doppelagentin für das Ministerium war, was zudem mit den Widersprüchlichkeiten der Spur verknüpft wurde.
http://baruffio.com/p/trace/

5)
Das ist mir auch schon aufgestoßen! In dem Gespräch zwischen Moody und Harry wird deutlich, dass der Orden Harry tatsächlich vom Ministerium unbemerkt zum Grimmauldplatz schmuggeln will. Er sagt, dass sie nicht apparieren könnten, weil Harry noch zu jung sei (Seit-an-Seit-Apparieren?), das Flohnetzwerk vom Ministerium überwacht würde und sie dumm wären, einen unautorisierten Portschlüssel zu erschaffen, sodass sie per Besen nach London fliegen müssten. Des Weiteren weiß Fudge bei der Anhörung offenbar nicht, dass Harry nicht mehr bei Onkel und Tante anzutreffen ist, weil er die Eule, welche ihn über den vorverlegten Termin informiert, zum Ligusterweg schickt (was freilich auch eine Lüge gewesen sein könnte, in der Hoffnung, Harry verpasse seine Anhörung). Jedenfalls hast du recht, dass Tonks und die anderen Ordensmitglieder freimütig Magie verwenden und sich offenbar keine Gedanken darüber machen, dass Harry dadurch noch mehr Probleme bekommen könnte, was wiederum impliziert, dass sie dafür irgendeine Lösung gefunden haben. Vielleicht hat Kingsley oder ein anderes Ordensmitglied, das im Ministerium arbeitet, dem paranoiden Fudge den Floh ins Ohr gesetzt, dass es gut wäre, Harry Potter zu überwachen, damit dieser nicht untertauchen und aus dem Untergrund heraus gegen das Ministerium arbeiten kann. Das würde ein wenig erklären, wieso der Orden Magie im Ligusterweg verwenden kann.