ich schreibe nun schnell, internet war grade weg, alles von vorne ...
nur zur klärung, was ein scheitelpunkt ist ;) er ist in diesem fall der tiefste punkt der funktion. die parabel kann aber acuh gedreht sein, also vllt genau " auf dem kopf". dann wäre es der höchste punkt. verstanden? gut.
weiter ^^
um eine parabel allgemein darzustellen nutz man die form y = ax² + bx + c (mit a ungleich null). wenn a größer ist als null, so ist die öffnung oben, ist a kleiner, so sit sie unten. mit nichts vor dienem x ist a also einfach 1. und 1 ist positiv. diene zeichnung muss anchher also eine nach oben geöffnete parabel sein.
um den scheitelpunkt zu erhalten, musst du umstellen. hier sit a = 1, das macht das ganze einfacher.
funktion heisst y = x² - 8*x + 11.
eien quadratische ergäntung eknnst du? sinn des ganzen ist es, einen weg zu fidnen, eine koordinate zu isolieren.
dazu musst du die binomsihen fromeln kennen.
(a+b)² =a²+2ab+b²
(a-b)² = a² - 2ab +b²
(a+b)*(a-b) = a²-b².
du kannst also hier sehen, es gibt x² und -8x. x² ist dein a² und -8x sind deine -2ab. also ist -ab = 4x. da x = a ist dein b = -4.
du hast also den ausdruck (x-4)² gefunden. wenn du das jetzt auflöst erhälst du x²-8x+16.
du hast oben aber nur +11. diese +16 ist kein problem, wenn du sie gleich wieder abziehst. diene obrige formel kannst du also schreiben als
y = (x-4)² -16 + 11.
um den scheitelpunkt zu erkennen schreibst du das ganze jetzt als y = (x-4)² -5.
jetzt liest du den scheitelpunkt ab:
S(-b|c). also ist der punkt S(--4|-5) = S(4|-5)
(b = -4, c = -5)
zeichen kannst du ganz leicht, such dir ein paar punkte. beispiel: x = 0, das setzt du ein in y = (x-4)² -5 ... dann ist y = (-4)²-5 = 16 - 5 = 11. also hättest du für x = 0 den y-wert 11.
aufgabe 2:
dein punkt p hat die koordinate für x = 8. wenn cih das jetzt richtig verstanden habe (mans chreibt das was du geschrieben hast eigentlcih anders kratz ) so ist die zweite koordinate in der funktion
y = x² - 10x +16 von x abhängig. das heisst dann ganz eifach, wir setztn x in diese funktion ein. x war hier 8. also ... y = 64-80+16. y ist also 0.
der punkt heisst dann P(8|0).
aufgabe 3:
damit eine parabel einen schnittpunkt mit der x achse hat, muss der y wert null sein. wenn y = 0, dann ist die x koordinate immer genau auf der x-achse. klingt komishc grade?
mal dir mal ein koordinatenkreuz auf, dann siehst dus.
wir scuhen also punkte, die bei y = 0 einen x wert ergeben.
leider weiss cih nciht, wie deine funktion aussieht, du hast was vergessen...
entweder y = x² -8x +7 oder y = x² + 8x +7. ich gehe mal vom fall +8 aus.
y = 0 = x²+8x +7.
wir suchen also x-werte, die hier eingesetzt null ergeben. ein Punkt besteht immer aus einem x und einem y-wert: P(X|Y)
dazu nutzt man die pq-formel. kennst du die? x1,2 = - p/2 +(-)[wurzelzeichen] (p/2)² - q [wurzelzeichen ende] geh hier mal gucken: http://home.arcor.de/wildandcool/mathe/pq-formel.jpg
dein p ist deine 8, q deine 7. du würdest jetzt einfach alles in die formel einsetzen und bekommst dann zwei ergebnisse (für deinen wert x1 nimmst du das + vor der wurzel, für x2 das - ... daher zwei ergebnisse)
wenn du das richtig gemacht hast, dann bekommst du da für x1 = -4 + wurzel von(16-7)was also = -4 + wurzel 9 ist. -4 + wurzel 9 = -1 (wurzel 9 = 3).
x1 ist dann -1.
für x2: x2 = -4 -wurzel von (16-7). x2 ist dann = -4 -3 = -7.
du ahst also zwei schnittpunkte mit der x achse. logisch auch, weil diene parabel nach oben offen sein muss und der scheitelpunkt unter der x achse liegt.
nun setzt du für x einmal x1 udn einmal x2 ein, also -1 und -7. damit prüfst du, ob du richig gerechnet hast. da kommt dann einmal raus
y = 1 + (-8) +7 = 0 und einmal
y = 49 + (-56) + 7 = 0.(dnek dran, minus mal minus ist plus und plus mal minus ist minus !)
deine schnittpunkte sind also P1(-1|0) und P2(-7|0).
aufgabe 4:
du weisst, dass der punkt P(-1|-3) heisst. die funktion muss also für x = -1 den wert y = -3 liefern und umgekehrt.
deine funktion sieht so aus:
y = a * x.
gesucht ist also der wert a, der dazu führt, dass für x = -1 y = -3 raus kommt.
man stell nach a um:
a = y/x = (-3)/(-1) = 3
a = 3
dann sieht deine funktion so aus:
y = 3x
aufgabe 5:
P(0|-5) bei funktion y = (x-2)² -1
na dann setzt dohc einfach mal ein: wenn du x 0 0 einsetzt (vergelcihe mit punkt) dann muss y = -5 rauskommen, damit der punkt auf der parabel liegt.
also: y = (x-2)² -1.
für x = 0 steht da: y = (0-2)²-1
(0-2)² ist aber halt auch (-2)²
also steht da dann für x = 0: y = 4 -1 = 3.
der punkt p liegt in der folge nicht auf der parabel.
aufgabe 6:
A(-2|7) und B(3|2)
form der parabel:
x² + px + q
wir müssen erstmal die funktion rekonstruieren, um dann wie oben den scheitelpunkt zu bestimmen.
im fall A: für x = -2 kommt y = 7 raus.
im fall B: für x = 3 kommt y = 2 raus.
wir fangen mit a an:
y = (-2)² +p(-2) +q
die ableitung lautet dann: y = 2 * (-2) + p = -4 + p
ich setzte den punkt a und danach B in die form y = x² + px + q
7 = 4 - 2 p + q
2 = 9 + 3 p + q
ich subtrahiere nun die beiden funktinoenn von einander, um q "raus zu schmeißen"
5 = -5 -5 p |+5
-5 p = 10
p = -2
setze ich nun p = -2 in die erste gleichug ein, so erhalte ich
7 = 4 + 4 + q.
q wäre dann 7 -4 -4 = -1.
zur überprüfung setzte ich die werte auch in die zweite gleichung ein:
2 = 9 + (-6) -1 = 2
wir wissen also, das q = -1 und p = -2 ist.
dann lautet die parabel:
y = x² -2x -1
zur überprüfung kann man jetzt die x oder y faktoren der punkte a und b einsetzten:
für x = -2 erhalte ich:
y = 4 + 4 -1 = 7 und das ist der gesuchte y-wert aus A.
nun kennen wir die funktion.
um nun den scheitelpunkt zu bestimmen ehen wir wie oben mti der quadratischen ergänzung vor:
aus y = x² - 2x -1 machen wir dann y = (x-1)² -2.
nun kannst du den scheitelpunkt als S(1|-2) ablesen.
hoffe ich konnte noch helfen ^^