Gleichungen können durch Äquivalenz-Umformungen gelöst werden. Das sind Umformungen, die den Wahrheitswert der Gleichung und damit ihre Lösungsmenge unverändert lassen. Dabei sind eine Reihe von Aktionen erlaubt, sofern sie auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens gleich ausgeführt werden. Das Ziel ist dabei, die Gleichung so weit zu vereinfachen, dass die Lösungen direkt abgelesen werden können oder die Gleichung zumindest auf eine Standardform gebracht wird, aus der die Lösungen mit einer Formel oder einem numerischen Verfahren bestimmt werden können. Beispielsweise kann jede Gleichung so umgeformt werden, dass auf einer Seite eine Null steht, sodass anschließend ein Verfahren zum Bestimmen von Nullstellen angewendet werden kann, womit dann auch die Ausgangsgleichung gelöst würde.
Umformungen kann man sich gut am Modell einer Waage vorstellen, die sich im Gleichgewicht befindet, und auf der die Größen einer Gleichung durch Gewichte repräsentiert werden (das Modell hat natürlich Grenzen und versagt z. B. bei negativen Zahlen). Äquivalenz-Umformungen entsprechen solchen Operationen, die die Waage nicht aus dem Gleichgewicht bringen. Das Bild zeigt am Beispiel der Gleichung
,
Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten
(„“ oder „“ oder „“ …).
Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten
(„“ oder „“ oder „“ …).
Multiplikation mit demselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten
(„“ oder „“ …).
Anmerkung: Eine Multiplikation mit null ist nicht umkehrbar und damit keine Äquivalenzumformung. Dabei ist zu beachten, dass bei Multiplikation mit einem Ausdruck, der eine Variable enthält, dieser Ausdruck null sein kann. Ein solcher Fall muss getrennt behandelt werden.
Division durch denselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten
(„“ oder „“ …).
Anmerkung: Eine Division durch null ist nicht möglich. Wie bei der Multiplikation ist zu beachten, dass bei Division durch einen Ausdruck, der eine Variable enthält, dieser Ausdruck null sein kann. Ein solcher Fall muss getrennt behandelt werden.
Vertauschen beider Seiten.
Eingeschränkt möglich sind darüber hinaus:
Potenzieren beider Seiten mit demselben positiven ganzzahligen Exponenten (z. B. Quadrieren).
Das ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Exponent ungerade ist. Bei anderen Exponenten - wie beim Quadrieren - erhält man sogenannte Scheinlösungen, die durch eine Probe ausgeschlossen werden müssen.
Zum Beispiel ist die Gleichung nicht äquivalent zur Gleichung , denn die letztere Gleichung hat auch als Lösung.
Potenzieren beider Seiten mit demselben nicht-ganzzahligen Exponenten, z. B. Bilden der Quadratwurzel beider Seiten.
Das gibt nur dann reelle Lösungen, wenn die Seiten der Gleichung nicht negativ sind. Dann handelt es sich zwar um eine Äquivalenzumformung, es ist jedoch zu beachten, dass nur für gilt; für negatives gilt dagegen . Beide Fälle lassen sich für beliebiges reelles mit der Betragsfunktion zu zusammenfassen.
Zum Beispiel ist die Gleichung mit einem Ausdruck äquivalent zu mit den Lösungen und .
Potenzieren beider Seiten mit demselben negativen Exponenten, z. B. Bilden des Kehrwerts beider Seiten.
Das geht nur, wenn die Seiten der Gleichung nicht den Wert null haben. Bei Verwendung anderer Exponenten als -1 treten dieselben Hindernisse wie bei positiven Exponenten auf.
Polynomgleichungen
Hoffe konnte dir helfen!!!!!!!!!!!!!!!
LG deine beste freundin Gundy