Möglich ist es sicherlich, aber nicht dem auf herkömmlichen Weg, indem man eine SIM-Karte im Geschäft kauft oder online beim Anbieter bestellt. Dabei werden immer die Ausweisdaten erfaßt, bevor die Karte freigeschaltet wird.
Man könnte natürlich ein gebrauchtes Handy auf dem Trödelmarkt oder auf Plattformen wie E-Bay erstehen ‑ manchmal gibt es welche mit noch aktiver (Prepaid-)SIM-Karte, die man einfach weiternutzen kann („offiziell“ ist sie dann natürlich einfach unter einem anderen Namen registriert und es kann jederzeit passieren, daß der „ursprüngliche“ Besitzer sie irgendwann sperren läßt).
Ansonsten könnte man sich eine SIM-Karte im Ausland besorgen, wo man es nicht so genau nimmt mit der Registrierung auf eine Person. Sofern die Karte zu Hause dann überhaupt ohne Einschränkung nutzbar ist, könnte es allerdings teuer werden und das Aufladen wäre ebenfalls ein Problem, wenn man sich nicht regelmäßig in dem Land, aus dem man die Karte hat, aufhält und dort das Guthaben in Bar bezahlen kann.
Das grundlegende Problem ist aber nicht unbedingt, daß dem Netzanbieter die Person bekannt ist, die die Karte gekauft hat (außer man will das Handy für illegale Aktionen benutzen und seine Identität gegenüber Ermittlungsbehörden verschleiern), sondern eher, daß Drittanbieter Daten sammeln, die man ihnen „freiwillig“ mitgeteilt hat bzw. die durch Apps automatisch erfaßt und übermittelt werden (z.B. der aktuelle Standort), mit welchen anderen Nutzern man Kontakt hat, Nachrichten austauscht und sich ggf. auch im echten Leben trifft, in welchen Geschäften man einkauft etc. Daraus kann man Rückschlüsse ziehen (wo man sich regelmäßig länger aufhält, insbesondere auch nachts, wird man wohl wohnen), auch ohne die personenbezogenen Daten von Anfang an zu kennen. Für Werbezwecke ist das alles viel interessanter als Dich namentlich zuordnen zu können.
Wirklich verhindern kann man solche Schnüffeleien wohl nur, wenn man gar keine Datenspuren hinterläßt, also auf mobile Internetnutzung/Apps von Drittanbietern oder im Extremfall ganz auf ein Handy verzichtet.