Der Eigenraum ist immer Teilraum des zugehörigen Hauptraumes. Dabei entspricht die Dimension des Eigenraumes gerade der geometrischen Vielfachheit des dazugehörigen Eigenwertes. Die Dimension des Hauptraums ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts.

Es gilt immer:

geometrische Vielfachheit <= algebraische Vielfachheit

Gilt nun Gleichheit, dann ist der Eigenraum ein Untervektorraum des Hauptraumes mit gleicher Dimension und muss daher mit dem Hauptraum übereinstimmen.

Gilt jedoch geo. Vielf. < alg. Vielf. , dann ist der Eigenraum echter Teileraum des Hauptraums und die beiden stimmen nicht überein.

TL;DR Nein , der Hauptraum entspricht nicht immer dem Eigenraum, enthält diesem aber immer als Teilraum.

Ist mit Z6 der Faktorring Z/(6) gemeint ? Falls ja, dann besitzt dieser Nullteiler, nämlich gerade die Teiler von 6. das wären 2 und 3.
Z/(7) wäre Nullteilerfrei (ein Integritätsbereich), Z/(7) ist sogar ein Körper. Allgemein gilt , dass Z/(p) genau dann ein Körper ist , falls p eine Primzahl ist. (Relativ leicht zu zeigen) , für alle anderen p>1besitzt du immer Nullteiler, welche gerade die Teiler von p sind.

Falls nicht die Faktorringe gemeint sind , einfach nochmal schreiben

Ich weiß nicht, wie bei euch an der Universität die Klausuren in Mikro- und Makro aussehen. Bei mir bestand die Mikro-Klausur hauptsächlich aus der Anwendung mathematischer Konzepte, daher "Berechne  die Menge, bei der xy Nutzen maximiert wir", "Berechnen Sie das kurzfristige Gleichgewicht". Für solche Fragen lässt sich am Besten mit Altklausuren lernen. Oftmals bekommt man durch die Fachschaften Zugang zu diesen. Außerdem kam in Mikro auch ein eher theoretischer Teil dran, der darauf abzielt, dein Verständnis für die Konzepte zu überprüfen. Daher Fragen wie zum Beispiel: "Ist die soziale Wohlfahrt in einem Monopol stets geringer als auf einem Wettbewerbsmarkt?". Hierzu ist es an Unis üblich, dass (freiwillig) Übungsblätter zu den Vorlesungsinhalten ausgegeben werden, diese waren, zumindest bei mir, sehr theoretisch, daher habe ich diese vor der Klausur nochmals, zusammen mit dem Skript, nochmals bearbeitet. Zusammenfassend für Mikro also:
Übungsblätter+ Altklausuren

Zu Makro lässt sich, zumindest aus meiner Sicht, sagen: Geh das Skript durch. Leihe dir das Buch "Makroökonomie" von Mankiew aus. Versuch die wirtschaftlichen Vorgänge nachzuvollziehen. "Was passiert mit dem realen Wechselkurs, falls die Staatsausgaben erhöht werden." Fang von klein an. Daher mit dem Investitions- und Ersparnismodell. Geh verschiedene Szenarien durch(diese findest du auch in oben genannten Buch) und überlege dir, auch graphisch, was im Modell vor sich geht. Vor allem hier sind Altklausuren ziemlich hilfreich. Egal von welchem Prof. Bei uns bestand Makro zu 100% aus Erklärungen zu verschiedenen Szenarien in den verschiedenen Modellen. Daher, man konnte sich nicht wie in Mikro durch irgendwelche "Rechenaufgaben" auf eine 4 retten. Ich kann dir hierfür wirklich nur das Fachbuch von Mankiew ans Herz legen. Dort wird jedes Modell erklärt und sehr ausführlich an mehreren (realen) Ereignissen angewandt, so dass du ein Gefühl dafür bekommst, was in den Modellen eigentlich vor sich geht und vor allem warum.
Stupides Auswendiglernen würde ich sowohl in Mikro- als auch in Makro vermeiden, dass wird dir (höchstwahrscheinlich) das Genick brechen. Lerne also nur Dinge auswendig, die man nicht wirklich verstehen kann, zum Beispiel etwaige Fachbegriffe o.Ä. Schlussendlich kommt es aber darauf an, wie dein Prof. die Klausur konzipiert

Ich habe das Bedürfnis zu essen. Aufgrund dieses Bedürfnisses habe ich einen Bedarf an Lebensmitteln. Dieser Bedarf für zu einer Nachfrage nach Pizza. 

Wenn du Domains ohne Mittelsmann registrieren möchtest , benötigst du eine ICANN Akkreditierung für .com, .info usw. Und eine ccTLD Akkreditierung für Länder-Spezifische Top-Level-Domains, also .de, .es, .eu usw. Die Vorraussetzungen kenne ich nicht, dafür gibt es aber Kontaktformulare auf den jeweiligen Seiten. Es bekommt aber nicht jede x-beliebige Person solch eine Akkreditierung. Wenn du das über einen Mittelsmann Regeln willst und das machen wohl die meisten Hoster, dann schau dich nach Registraren um, das sind Unternehmen die eine Akkreditierung erhalten haben und die Domain Registrierung für dich vornehmen.

Wenn du dir unsicher bist, besuche doch einfach mal ein paar Vorlesungen nach der Schule - vorzugsweise in Ana l ysis und Lineare Algebra. Man merkt recht schnell, ob einem richtige Mathematik liegt oder nicht. Ich habe damals auch kein Schülerstudium gemacht, sondern war einfach als Gasthörer eingeschrieben und konnte so, je nach verfügbarer Zeit in die Vorlesungen und Tutorien gehen. Das Problem an einem Mathematikstudium ist, dass es zumindest in den ersten Semestern nichts verzeiht. Man sollte möglichst alle Vorlesungen, Plenar-Übungen und Tutorien besuchen. Das kann während der Schulzeit recht viel werden. In Summe macht das pro Woche 12 Stunden, die man an der Uni in Vorlesungen verbringen sollte, wenn man nur die oben genannten Module besucht. Von den Übungsblättern darfst du dich aber nicht abschrecken lassen. Mein Gott, als ich mein erstes Übungsblatt in Lineare Algebra machen musste, ist für mich als 1er verwöhnter Schüler ne Welt zusammengebrochen. Man sitzt davor und versteht überhaupt nichts. Irgendwie nach gefühlten 20 Stunden hat man dann doch etwas zu Papier gebracht. Und das geht einem auch noch nach dem 4,5 und 6 Übungsblatt so, aber spätestens im dritten Semester, hat man sich daran gewöhnt. Wichtig ist nur dass du die Übungsblättern alleine bzw. im Team bearbeitest und nicht irgendwie abgeschreibst. Von sowas solltest du dich aber nicht abhalten lassen. Es gibt viel zu wenige, die Mathematik studieren und viel zu viele die nach dem 1. oder 2. Semester abbrechen. Das ist sehr schade, da die Mathematik wirklich interessant sein kann. Wenn du also der Meinung bist, dass die Mathematik etwas für dich ist und du neben der Schule noch Zeit hast, dann versuche es unbedingt. Ein Abbruch ist auch keine Blamage, vor allem nicht wenn du ein Schülerstudium machst. Bedenke, dass die Abbrecherquote "normaler" Mathematikstudenten je nach Universität bis zu 80 % sein kann und die haben keine Schule nebenher. Also versuche es einfach und wenn das zu viel für dich ist, bist du immerhin um eine Erfahrung reicher.

Ich gehe von aus, dass es hierbei um die keynesianische Konsumfunktion handelt. Hierbei liegt die Annahme zugrunde, dass die Konsumausgaben mit Steigendem Einkommen steigen, also die marginale Konsumneigung >0 ist, der Anstieg aber mit steigendem Einkommen abnimmt, also die marginale Konsumneigung <1 ist. Bezeichnen wir die Konsumneigung mit c. Des Weiteren geht man in der Theorie davon aus, dass die Haushalte einen autonomen Konsum haben, sprich unabhängig von ihrem Einkommen immer einen bestimmten Teil konsumieren. Diese Größe sei C. Damit erhält man in einfachster Form folgenden linearen Zusammenhang: Konsum(Y) = C+ c*Y. Um die durchschnittliche Konsumquote zu erhalten , teilen wir die gesamte Konsumfunktion durch Y: AVC(Y) = C/Y + c. Da c und C konstanten sind und Y die einzige Flussgröße ist, nimmt der durchschnittliche Konsum mit steigendem Einkommen ab. graphisch hättest du hier eine Hyperbel die für steigendes Y gegen c geht.

Da du noch nicht studiert hast/ am studieren bist, ein gut gemeinter Rat: beginne erstmal mit einem Studiengang. Du wirst sehen, dass das sehr viel mehr Aufwand ist als das Abitur. Ein 1,0 Abschluss sagt dabei nichts aus, ich weis wovon ich spreche. Ein Zweifach-Bachelor ist grundsätzlich möglich. Die meisten Universitäten setzten jedoch 1-2 Semester Studienzeit in einem Studienfach mit guten Noten Voraus, bevor du einen zweiten Studiengang hinzunehmen kannst. Ich habe einen ähnlichen Weg eingeschlagen. Mit VWL begonnen und später noch Mathematik hinzugenommen. Im Nachhinein war das eine nette Erfahrung - mehr aber auch nicht. Lass dir aber gesagt sein, dass alleine ein Mathematikstudium SEHR viel Aufwand bedeutet. Jede Woche Übungsblätter abgeben, die Voraussetzung für die Prüfungszulassung sind und wirklich sehr viel zu lernen. Nimm ein Mathematikstudium nicht auf die leichte Schulter. Wie viel Aufwand ein Doppelstudium bedeutet kann auch so verdeutlicht werden: Pro Semester werden im Bachelorstudium Ca. 30 ECTS-Punkte angesetzt. Wobei 1 Punkt einen Arbeitsaufwand von Ca. 30 Stunden entspricht. Insgesamt also 900 Stunden Arbeitsaufwand. Das macht bei einem Doppelstudium 1800 Stunden auf Ca. 4 Monate bzw 15 Stunden am Tag. Lass dir das mal auf der Zunge zergehen. Ganz so extrem ist es natürlich nicht, geht aber schon in die Richtung. Zusätzlich hast du natürlich auch die bereits angesprochenen Übungsblätter in Mathematik zu bearbeiten. 3-4 Stück pro Woche, für jedes Modul eins. Am Anfang brauch man noch sehr lange um so ein Übungsblatt zu bearbeiten. Wenn man dann mal drin ist, geht das auch in 4-8 Stunden - pro Übungsblätter wohl bemerkt. Es ist auch immer eine Frage der Prioritäten. Du willst BWL studieren und einen Master wahrscheinlich an einer guten Universität machen. Das bedeutet du wirst einen Schnitt von ca. 2,0 brauchen. Dazu noch ein Mathematikstudium bedeutet sehr viel lernen und sehr wenig Freizeit. Mein Fall war ist das nicht. Deshalb studiere ich mittlerweile "nur noch" Mathematik.

Alle Güterbündel die auf einer Indifferenzkurve liegen, stiften dem Phillipp den gleichen Nutzen. Beispiel:

1 Tasse Espresso und 2 Gläschen Grappa stiften mir den Nutzen von 10

2 Tassen Espresso und 1 Gläschen Grappa stiften mir ebenfalls einen Nutzen von 10.

Was schließen wir daraus? Ganz klar - mir ist es egal, ob ich 1 Tasse Espresseo und 2 Gläschen Grappe oder 2 Tassen Espresso und 1 Gläschen Grappa konsumiere. Man sagt auch, ich sei indifferenz zwischen beiden Güterbündeln. Daher macht es nur Sinn, wenn diese beiden Bündel auf ein und der selben Indifferenzkurve liegen.

Wie geht man vor, wenn man die Nutzenfunktion gegeben hat.

Da eine Indifferenzkurve alle Güterkombinationen die einen bestimmten Nutzen liefern darstellt, setzen wir den nutzen einfach auf irgendeine Zahl fest.

z.B U(x1,x2)=y

Jetzt lösen wir diese Gleichung nach x2.

(x1+2) (x2+6) = y

<=> x2 = y/(x1+2) - 6

Was sagt uns diese Gleichung nun aus? Sie sagt wenn wir  eine Gegebene Menge x1 konsumieren, wie viel wir von x2 konsumieren müssen, damit wir einen Nutzen von y erhalten. Dir wird sicherlich auffallen, dass es somit unendlich viele Indifferenzkurven geben muss - je nachdem wie unser y eben ist erhalten wir eine andere Indifferenzkurve. Wollen wir nun eine Skizzieren, wählen wir einfach irgendein Nutzen. z.B y=1

dann erhalten wir die Indifferenzkurve für den Nutzen 1 : x2 =1/(x1+2) -6

Diese Funktion können wir ganz normal in unser Koordinatensystem einzeichenen. Bedenke hierbei: x2 auf der y-Achse und x1 auf der x-Achse.

VG

Nimm die Zahl und zieh daraus die Wurzel und runde ab. Jetzt addiere 1 und quadriere das Ergebnis. Davon ziehst du nun deine Ausgangszahl ab. Wenn es sich beim Ergebnis um ein Quadrat handelt, bist du fertig, ansonsten nochmal 1 addieren und von vorne beginnen. Das könnte so aussehen: Ausgangszahl die du faktorisieren willst : 143, die Wurzel daraus und abgerundet ist 11. jetzt 1 drauf addieren : 12 Das wird nun Quadriert und die Ausgangszahl abgezogen: 12^2 -143 =1 bei der 1 handelt es sich um eine Quadratzahl. dann sind deine beiden Primfaktoren: x= 12-1=11 und y=12+1=13. Das ist ein einfacher Algorithmus, der vor allem dann sinnvoll ist, wenn die beiden Faktoren nah beieinander liegen. Dennoch ist es nicht besonders effektiv. Aber besser als bloßes testen. Natürlich gibt es geeignetere Verfahren, diese würden aber den Rahmen hier sprengen. Effektiver sind die Rho-Methode und die p-1 Methode. Einfach mal danach googeln. Ich denke die Frage deines Lehrers war eher als Scherz gedacht. Selbst Hochleistungsrechner brauchen ewig um große Zahlen zu faktorisieren. Deshalb ist die RSA Verschlüsselung im Moment noch sicher.

Wenn die Durchschnittskosten in jedem Bereich den Grenzkosten entspricht, hat die Produktionsfunktion Konstante skalenerträge und die Kostenfunktion muss linear sein. K(q)=8q. Deine Nachfragefunktion löst du nach dem Preis auf. p=-1/50q+28. nun kannst du deine erlösfunktion aufstellen: E=p*q=(-1/50q+28)*q=-1/50q^2+28q. Nun gilt im Optimum : Grenzerlös=Grenzkosten. Also : -1/25q+28=8 => q=500. dann ist der Preis: -1/50*500+28=18GE. Beim Vollkommenen Wettbewerb ist G=0. das heißt:Preis=8 Einfach in deine Nachfragekurve einsetzen :1400-50*8=1000ME

Tolles Buch. Überleg dir doch einfach mal, warum Nathanael mit Olimpia spricht. Für den Außenstehenden sieht es so aus, als würde er mit einer Puppe sprechen. Wie scheint es für Nathanael? ihr habt doch sicher in der Schule besprochen, dass Nathanels Wahrnehmung durch das Objektiv verzehrt ist und weiter Olimpia's Augen nutzt um seine eigenen Wünsche und Gefühle auf diese zu projizieren. Daher er sieht in Olimpia ein gleichgesinntes Gemüt. ( du hast sicher Schonmal davon gehört, dass die Augen das Tor zur Seele sind). nun Olimpia besitzt offensichtlich keine Seele. Also sind ihre Augen für Nathanel nichts anderes wie ein Spiegel, der seine eigene Abbildet. Im Endeffekt, hat er also keine Gefühle für eine andere Person, sondern für sich selbst, denn in Olimpia "sieht" er letztlich nur sich selbst. daher bekommt die ganze Beziehung zu Olimpia narzisstische Züge. Im Buch findest du noch viel mehr. Das sollte dir aber erstmal als Denkanstoß reichen.

Wenn sich der Bruch nicht kürzen bzw. auf Grundwert 100 bringen lässt, kannst du mit ein bisschen Übung einfach im Kopf schriftlich dividieren. Bei deinem Beispiel: 48/64 Überlege dir wie oft die 64 in die 48 passt : 0 mal, also 0, Jetzt multipliziere die 48 mit 10: 480/64. wie oft passt die 64 in die 480? 7 mal denn 7*64=448. also 0,7.. 480-448=32 Also nur noch 32/64 oder wieder 320/64=5 Rest 0. also hast du das Ergebnis 0,75 =75%

Q ist eine Menge von Zahlen. Um genau zu sein, alle Zahlen, die sich als Quotient(als Bruch) von einer natürlichen und einer ganzen Zahl darstellen lässt. z.B ist 5/2=2.5 in der Menge enthalten. Die Wurzel aus 2 ist nicht in Q enthalten, denn man kann sie nicht als Bruch darstellen.

x e Q bedeutet jetzt einfach dass man irgendein Element(also eine Zahl) aus der Menge Q nimmt. Das "e" bedeutet nichts anderes als "Element von/aus". Also insgesamt "man nehme irgendein eine Zahl die in Q enthalten ist. "| " sagt jetzt nur dass die vorherige Aussage genauer beschrieben wird. In den Fall steht da dass x, also das Element aber kleiner als 5 seien soll. Insgesamt steht da also : "Man nehme irgendein x aus der Menge Q mit der Eigenschaft, dass dieses x kleiner als die Zahl 5 sein soll" Und alle Zahlen die diese Eigenschaften haben bilden eine neue Menge die eben L genannt wird.

Tag,

der Satz des Pythagoras ist eine Speziallfall, der sich aus dem Kosinussatz ergibt. Dieser lautet c² = a²+b²-2ab*cos (γ). Für γ = 90, denn in einem rechtwinkligen Dreieck bilden die beiden Katheten einen 90 Winkel , ergibt der cos = 0.

-2ab*0 -> fällt weg Damit bleibt die dir bekannte Gleichung c² = a²+b² übrig.

Beweisen könntest du den Satz des Pythagoras über eine geometrische Ergänzung. Hier ein Link : http://www.ekg-lemgo.de/html/unterricht/faecher/diff-inf-mathe/brinckmann/seite2/screen2.html

mfg.