Frage von HeisenbergGER, 46

Zeigen Sie, dass alle drei Vektoren in einer Ebene liegen. Könnt ihr mir helfen?

Hänge schon seit 2 Stunden an der Aufgabe und komm nicht dahinter.

Also ich habe drei Vektoren und muss prüfen ob die in einer Ebene liegen.

Hat jemand einen Lösungsansatz? Danke im voraus!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 45

Hallo,

Du mußt nur prüfen, ob die drei Vektoren linear abhängig sind, sprich, ob sich der dritte Vektor durch eine Linearkombination der beiden anderen darstellen läßt.

Nehmen wir an, Du hast die drei Vektoren (1/2/3), (4/5/6) und (7/8/9).

Zwei von ihnen liegen immer in einer Ebene. Du suchst Dir also zwei von diesen drei aus - egal, welche beiden, ich nehme mal die beiden ersten - und siehst, ob sich mit Hilfe dieser beiden der dritte darstellen läßt.

Du stellst also folgende Gleichung auf:

r*(1/2/3)+s*(4/5/6)=(7/8/9)

Das führt Dich zu folgendem Gleichungssystem:

 r+4s=7
2r+5s=8
3r+6s=9

Dieses Gleichungssystem ist überbestimmt, weil Du bei drei Gleichungen nur zwei Unbekannte hast, es ist also möglich, eine Lösung für r und s zu finden, wenn es denn eine gibt.

Gibt es eine Lösung, so liegen alle drei Vektoren in einer Ebene; gibt es keine, mußt Du nur noch überprüfen, ob zufällig die beiden ersten Vektoren parallel zueinander sind, indem Du prüfst, ob t*(1/2/3)=(4/5/6) ist, was auf einen Blick verneint werden kann, denn 4*1=4, aber 4*2≠5.

Wenn Du also keine Lösung findest, liegen die drei Vektoren nicht in einer Ebene.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Mikkey, 29

Stelle die 3x3-Matrix auf und bestimme die Determinante. Ist die Null, liegen die Vektoren in einer Ebene.

Antwort
von flewilo, 46

Ansatz könnte/sollte folgendermaßen aussehen:

Zwei dieser Vektoren spannen eine Ebene auf. Ebenengleichung dieser Ebene aufstellen und dessen Normalenvektor bestimmen. Nun muss dieser orthogonal zum dritten Vektor sein. Hinweis dafür: Skalarprodukt.

Viel Erfolg, wollte nicht zu viel verraten ;)

Kommentar von flewilo ,

Wobei das die umständliche Variante ist.

Kommentar von HeisenbergGER ,

Also du meinst das spatprodukt bilden?

Kommentar von flewilo ,

Hab leider nicht im Kopf, was dieses nochmal war.

Aber schau dir die Antwort von cristelmettigel an, diese ist der einfachste Weg. Stichwort LGS.

Kommentar von stekum ,

Nein, der umständlichste.

Kommentar von flewilo ,

Bezweifle ich, wenn du mal meinen ersten Vorschlag ansiehst.

Kommentar von HeisenbergGER ,

Ich glaub ich habs! Danke :-)

Kommentar von HeisenbergGER ,

Wenn das spatprodukt 0 ergibt, liegen die Vektoren in einer Ebene

Kommentar von HeisenbergGER ,

Die Fläche zwischen 2 Vektoren bekommt man durchs kreutzprodukt und dann mit dem dritten ein skalarprodukt bilden ist dasselbe. Danke nochmal

Antwort
von cristelmettigel, 35

du musst einen vektor durch die beiden anderen darstellen können.

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