Zahlenrätsel - Quadratwurzel?
Hallo alle miteinander,
meine beste Freundin hat mir ein Rätsel gestellt, welches sie grade ich Mathe Unterricht bearbeiten. Es geht bei diesem Rätsel um Quadratwurzeln. Ich hatte das Thema schon vor längerer Zeit aber ich kann ihr nicht weiterhelfen, da ich die Aufgabe einfach nicht verstehe. Vllt weiß ja einer von euch weiter...
Hier das Rätsel:
Ich denke mir eine Zahl, quadriere sie und addieren 12. Ziehe ich daraus die Wurzel, so erhalte ich das Doppelte der Zahl.
3 Antworten
Da steht, dass sqrt(x²+12) = 2x ist.
Ich würde stumpf beide Seiten quadrieren und dann -x² rechnen und zum Schluss durch 3 teilen und die Wurzel ziehen.
Probe:
sqrt(x²+12) = sqrt(2²+12) = sqrt(4+12) = sqrt(16) = 2*x
Wenn man eine Zahl quadriert und dann noch weitere Operationen durchführt, die das Vorzeichen nicht weiter beeinflussen, kann nur dann das doppelte der Zahl heraus kommen wenn die Zahl positiv ist.
Bin ich gerade vollkommen neben der Spur oder gibt die Quadratwurzel nicht eigentlich zwei Ergebnisse?
Nein x² = 1 hat zwei Lösungne, aber Wurzel(1) ist immer 1, nie -1.
Genau deswegen schreibt man beim Wurzelziehen das +/- davor.
x² = 1 | Wurzel
x = +/- Wurzel(1)
Ok, ich dachte das Wurzelziehen hätte zwei Ergebnisse, der geschriebene Wurzeloperator wäre aber nach R+ definiert.
Wenn man das so macht wie von dir angesprochen, dann kommt man auf 4 = x² und diese Gleichung wird ganz klar auch von -2 gelöst. Wie du mir aber gerade erklärt hast löst -2 nicht das Ausgangsproblem, also ist beim Quadrieren der Gleichung doch genau das passiert was ich meine, oder?
Formal gesehen sieht es oben so aus:
Wurzel(x²+12) = 2x |()²
x²+12 = 4x² |-x²
12 = 3x² |:3
4 = x² |Wurzel
x = +/-2
Da die Wurzelfunktion jedoch ausschließlich positive Werte liefert, werden sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite positive Ausdrücke quadriert, denn das Vorzeichen der beiden Seiten kann sich nicht unterscheiden.
Dein Einwand ist aber interessant, denn im letzten Schritt würde isoliert betrachtet tatsächlich +/- 2 heraus kommen.
Genau, eben weil du ohne Prüfung das einfach quadriert hast. Du müsstest eine Fallunterscheidung machen und deiner bisherigen Rechnung für x >= 0 hinzufügen. Für x < 0 wird es dann wahrscheinlich keine Lösung geben.
2x wird doch negativ wenn x negativ wird, die Wurzel bleibt doch aber positiv, oder?
Genau, deswegen ist schon in der ersten Zeile klar, dass x nur nichtnegativ sein kann.
Meine Erklärung habe ich zwar nicht mathematisch formuliert, aber logisch ist sie korrekt.
probiere es doch einfach mal aus mit verschiedenen Zahlen, es kommt hjn
sqrt(x²+12)=2*x | ^2
x²+12=4x²
3x²=12
x²=4
x=2
Nein rechne doch mal nach.
sqrt(16)=-4
Das passt irgendwie nicht oder?
Ich hab das am Anfang auch gedacht aber es stimmt eben nicht. Wenn man es nach rechnet sieht man das auch schnell.
Genau das habe ich auch gerade versucht dem Suboptimierer zu erklären 😅
Wenn -2 kein Ergebnis der Ausgangsgleichung ist, dann darfst du aber auch nicht einfach so x² = 4 schreiben, denn diese Gleichung wird durch -2 gelöst.
Dann ist es eben |x²|=4 du Schlaumeier. Ist mir doch völlig egal.
Das macht es leider auch nicht besser, das Quadrat ist eh schon positiv ;)
Hast du nicht den Anspruch, mathematisch korrekte Antworten zu liefern?
Das x muss ja größer 0 sein, weil ja die Wurzel aus einer positiven Zahl immer positiv ist. D.h. man müsste das ganze nur für x>=0 betrachten. Und dann gäbe es nur die Lösung x=2 weil x=-2 <0
Täusche ich mich, oder müsste man vor dem Quadrieren nicht eigentlich zeigen, dass beide Seiten positiv sind? Sonst könnte ja aus -x = x ganz schnell x = x werden.
Und meinst du, dass -2 die Aufgabe löst?