wozu braucht man den differenzenquotienten?
man kann ja auch die steigung an einem punkt von der funktion durch die ableitungsfunktion berechnen.
also wozu braucht man den?
3 Antworten
Die Ableitungsfunktion ist schlussendlich nichts anderes als den Differenzenquotienten...
Du hast eine Funktion f(x). Angenommen du suchst jetz die Ableitung der Funktion x0, also f'(x0).
Nun nehmen wir eine Sekante der Funktion an, welche durch den Punkt f(x0) und f(x0+h) geht (Falls dir de Begriff Sekante nichts sagt, das ist einfach eine Gerade welche durch zwei Punkte der Funktion geht).
Die Steigung dieser Sekante ist dann:
( f(x0+h) - f(x0) ) / ( (x0+h) - x(0) ) => ( f(x0+h) - f(x0) ) / h
Ich hoffe, du weisst wie man die Steigung von zwei Punkten ausrechnet, mehr habe ich oben nämlich nicht gemacht. Die x0 im Nenner kann man streichen weil x0+h-x0 = h.
So, was haben wir nun. Im Zähler eine Differenz und das ganze ein Bruch: Ein DIFFERENZENquotient. :)
Nun haben wir also die Steigung durch zwei Punkte einer Gleichung. Die Steigung einer Tangente (sprich die Ableitung) einer Funktion ist dann dasselbe, wie wenn diese zwei Punkte unendlich nahe aneinander liegen.
Wenn sich also die zwei Punkte immer näher kommen, nähert sich die Steigung dieser Geraden der Ableitung.
Also ist die Ableitung von einer beliebigen Funktion:
(1) f'(x0) = lim h -> 0 (( f(x0+h) - f(x0) ) / h)
Das "lim h-> 0" bedeutet, dass wir das "h" gegen 0 laufen lassen, also wie gewollt, dass sich die Punkte immer näher kommen. (Eine kleine Romanze so zu sagen) Ich hoffe du kannst mir noch folgen, zur Vereinfachung hier ein Beispiel:
Die Funktion sei z.B. f(x)=x²
Gemäss der Definiton (1) ist somit die Ableitung der Funktion an der Stelle x0:
f'(x0) = lim h->0 ((x0+h)²-x0²) / h
Wir klammern ein Bisschen aus und kommen auf:
f'(x0) = lim h->0 ((x0² + 2x0h +h² -x0²) / h
das x0² fällt weg und es folgt:
f'(x0) = lim h->0 2x0h+h² / h
Wunderschönerweise können wir hier ein h ausklammern und anschliessend kürzen und es folgt:
f'(x0) = lim h->0 2*x0+h
Wegen dem "lim h->0" wird das h nun unendlich klein, es verschwindet im Nirvana der Zahlen, und es folgt:
f'(x0) = 2*x0
Was ja bekanntlicher weise Stimmt.
Diese Tatsache ist besonders bei der Lösung von Differentialgleichungen und bei Integralrechnungen oftmals sehr von Vorteil, aber das ist ein anderes Thema. :)
Eine schöne Erläuterung. Einen winzig kleinen "Fehler" habe ich dennoch anzumerken:
Die x0 im Nenner kann man streichen weil x0+h-x0 = h.
So, was haben wir nun. Im Zähler eine Differenz und das ganze ein Bruch: Ein DIFFERENZENquotient. :)
Das wäre nur ein DIFFERENZquotient, da er nur eine Differenz enthält. Tatsächlich bezeichnet man den Term, den man vor dem Streichen der x0 im Nenner hat, also den Term:
( ( f x + h ) - f ( x ) ) / ( ( x + h ) - x )
als Differenzenqotienten - denn der enthält in der Tat zwei Differenzen.
Du kannst damit den Maximal/Minmalwert errechnen. Den widerrum kann man auch im "Alltag" oft benutzen, zum Beispiel um ein möglichst eine möglichst große Fläche mit einer bestimmten Länge Zaun einzäunen kann.
Chere Lady,
Das mit dem Zaun ist die Anwendung für die Ableitung. Diese arbeitet mit DifferenZIAL-Quotienten ("dy/dx") mit unendlich kleinen Zahlen. Der DifferenZEN-Quotient hingegen arbeitet mit "richtigen" Zahlen. Das kann man zB brauchen, wenn man die Nullstelle einer komplizierten, schwer ableitbaren Formel mittels Näherungsverfahren sucht.
Der Differenzenquotient ist eigentlich die Begründung für die Ableitung, und zu dem erleichtert das Verstehen das Differenzenquotienten deutlich das Verständnis, wenn man über den Differenzialquotienten spricht.
super! vielen dank, jetzt hab ich es verstanden:)