Wieso muss man die umkehrung des Satz des Pythagoras extra beweisen?
Wie oben es schon steht würde ich gerne wissen wieso man die Umkehrung extra beweisen muss und wie genau.
4 Antworten
Was ist denn mit der Umkehrung gemeint?
Dass ein Dreieck, in dem die Formel gilt, rechtwinklig ist?
Ich kann dir erklären, warum du die Umkehrung separat beweisen musst:
Wenn gilt "Aus A folgt B", dann heißt das nicht, dass auch "Aus B folgt A" wahr ist.
Also nur weil in rechtwinkligen Dreiecken man diese Formel a^2 + b^2 = c^2 hat, heißt das vielleicht nicht unbedingt, dass jedes Dreieck, in dem diese Formel gilt, rechtwinklig ist.
Typisches Beispiel: "Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.". Das ist wahr. Die Umkehrung "Wenn die Straße nass ist, dann regnet es." ist aber falsch, denn die Straße kann ja auch aus anderen Gründen nass sein; zum Beispiel, weil jemand Wasser ausgekippt hat.
Naja, im Prinzip scheint es recht einfach zu gehen, wie hier erklärt:
http://www.lohnt-nicht.de/schule/Gym-Aichach/Mathe-9a/Lernpfad-Pythagoras/Inhalt/Kehrsatz-Beweis.xhtml
Ich hab ein Dreieck, in dem gilt mit unbekannten Winkeln.
Und ich nehm mir jetzt ein rechtwinkliges Dreieck her, das auch die Seitenlängen a und b hat, zwischen denen der rechte Winkel liegt, die also die Katheten sind.
Dann gilt dort mit dem Satz des Pythagoraswobei c' die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist.
Somit gilt aber auch
Die beiden Dreiecke sind also in allen drei Seiten identisch, also kongruent, und müssen deshalb auch in ihren Winkeln übereinstimmen. Also muss das erste Dreieck auch rechtwinklig sein, in demgilt, weil es zu dem rechtwinkligen zweiten Dreieck kongruent ist.
Warum man die Umkehrung extra beweisen muss?
Weil es ein anderer Satz ist, der ja auch falsch sein könnte.
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Betrachte beispielsweise den folgenden Satz:
„Wenn x < 5 ist, so ist x < 7.“
Dieser Satz ist wahr. Das passt.
Der entsprechende Umkehrsatz wäre...
„Wenn x < 7 ist, so ist x < 5.“
Diese Umkehrung ist aber nicht im Allgemeinen richtig. (Beispielsweise im Fall x = 6 ist die Umkehrung falsch.)
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Wie man die Umkehrung des Satzes des Pythagoras beweisen kann?
Beispielsweise mit Hilfe des SSS-Kongruenzsatzes und des Satzes des Pythagoras...
Die Umkehrung des Satzes lässt sich auf verschiedene Arten beweisen, ein besonders einfacher Beweis ergibt sich jedoch, wenn man den Satz des Pythagoras selbst zum Beweis seiner Umkehrung heranzieht.
Zu einem beliebigen Dreieck, dessen Seiten a, b, c die Bedingung c² = a² + b² erfüllen, konstruiert man ein zweites Dreieck. Dieses besitzt einen rechten Winkel, dessen Schenkellängen den Seitenlängen von a und b entsprechen. Nach dem Satz des Pythagoras beträgt nun die Länge der Hypotenuse in diesem zweiten Dreieck √(a² + b²) und entspricht damit der Länge der Seite c des Ausgangsdreiecks. Somit besitzen die beiden Dreiecke die gleichen Seitenlängen und sind aufgrund des ersten Kongruenzsatzes (SSS) kongruent. Damit sind dann aber auch ihre Winkel gleich, das heißt, auch das Ausgangsdreieck besitzt einen rechten Winkel, der der Seite c gegenüberliegt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras#Beweis_der_Umkehrung
Was meinst du mit Umkehrung genau?
