Wieso ist die Ableitung einer Achsensymetrischen Funktion immer Punktsymetrisch?
2 Antworten
Hier eine Antwort für Funktionen, die keine Polynome sind:
Eine gerade Funktion [i.e. der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse] erfüllt die Gleichung
f(x) = f(-x) für alle reellen Zahlen x.
Die Ableitungen von f(x) und f(-x) müssen also gleich sein.
Die Ableitung von f(x) ist einfach f '(x).
Die Ableitung von f(-x) ist -f '(-x), wie man mittels Kettenregel herausfindet.
Also gilt: f '(x) = -f '(-x).
Das ist aber gerade die Bedingung dafür, dass f '(x) ungerade ist [i.e. der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung].
Ich bin kein Mathematiker, aber ich würde sagen, wenn ich ein Polynom der Form f(x) = x^n + C ableite, dann ist die Ableitung f'(x) = nx^(n-1)
Und eine gerade Zahl - 1 ist immer eine ungerade Zahl, sowie eine ungerade Zahl - 1 immer eine gerade Zahl ist.
