Wie viele Drittel sind ein ganzes?
Kann man auch 4 kleine Drittel zu einem ganzen setzten oder müssen es drei sein?
14 Antworten
Nein, 4 ⋅ 1/3 wären 4/3 und damit mehr als ein Ganzes.
Stell Dir doch mal einen Kuchen vor. Du schneidest ihn in drei gleich große Teile. Wie viele Stücke hast Du dann? Und wie viele Stücke brauchst Du, damit Du wieder einen ganzen Kuchen hast? Genau drei.
3/3 = 1
Mit vier Dritteln kämst Du zwar auch aus, aber dann bleibt halt ein Drittel übrig.
4/3 = 3/3 + 1/3 = 1 + 1/3
LG Willibergi
Kleine oder große Drittel? Ein Drittel ist immer eins von drei Teilen des ganzen.
3 drittel sind ein ganzes, da 3 * 1/3 = 1 sind
4 kleine Drittel
Drei noch so große Viertel reichen nicht ganz ...
Zuerst wie bei jedem formalen Problem kommt es auf die Rahmen an. Kurz lautet die Antwort NEIN aber auch u. U. JA!
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Algebraisch. Sei A eine Struktur mit assoziativer Addition, assoziativer Multiplikation, neutralen Elementen für beide (0 bzw. 1), und so dass Multiplikation über Addition assoziiert.
Die Definition von 1 drittel, allgemeiner 1 n-tel für ein n ∈ {1;2;3;…} ist das Element (wenn es eins gibt und es eindeutig ist), a, so dass a+a+…+a (n-Mal) gleich 1 ist, kurz: 1/n ist das Element, a, so dass n·a = 1.
Nun betrachten wir 4 drittel, allgemeiner (n+1) n-tel. Per Definition gilt (n+1)·1/n = n·1/n + 1/n = 1 + (1/n) wegen der o. s. Eigenschaft eines n-tels. Du willst nun fragen, ob (n+1) n-tel = 1. Das gilt gdw. 1 + (1/n) = 1 + 0. Solange der Ring, A, die Wegkürzen-Eigenschaft bzgl. Addition hat, gilt dies gdw. (1/n) = 0. Dies wieder impliziert 1 = n·(1/n) = n·0 = 0 + 0 + … + 0 = 0. Nun kann man zeigen, dass dies gilt gdw. A = {0}. Das wäre ja eine sehr triviale Struktur. Daher ist dies ausgeschlossen.
Im Allg. finden wir hiermit keine sinnvolle Rechtfertigung von 4 drittel = 1. Die Antwort hier lautet eindeutig NEIN.
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Tologisch/Geometrisch. Du hast aber von einem „kleinen“ Drittel gesprochen. Und das ist klug. Betrachten wir nun irgendeinen d-Dimensionalen Raum. Jeder Teilmenge, X, können wir ein Maß, µ(X) zuordnen, nämlich Länge/Fläche/Volumen/d-dimensionales Volumen.
Wir suchen nun eine Teilmenge, X, so dass µ(X) = 1, und eine Partition (Zerlegung) von X in 4 disjunkten Teilen, X1, …, X4, so dass nach „maßerhaltenden Transformationen“ X1, …, X4 zu einer Partition Y1, …, Y4 von einer Menge Y wird, mit Maß µ(Y) = 4/3. Dann können wir quasi wegen der maßerhaltenden Transformationen, dass die entsprechenden Teile gleichen Maßes sind, also sind Y1, …, Y4 quasi jeweils „ein drittel“ und damit auch X1, …, X4. Also ließe sich X, ein Bereich des Maßes 1, in vier Drittel aufteilen.
So, das ist unser Ziel, grob skizziert. Dies ist nun tatsächlich (mit leider gewissen Modifizierungen) machbar!
Seien X, Y beliebige beschränkte und messbare Teilmengen vom d-dimensionalen Raum, IRᵈ, die toplogische betrachtet „inhaltlich“ sind (genauer Definition: sie enthalten jeweils nicht leere offenen Teilmengen, es reicht aus mit Kugeln zu arbeiten). Hierbei kann man auch X und Y mit verschiedenen Maßen (d-dimensionalen Volumen). Sei o. E. µ(X)=1≠µ(Y). Laut des Banach-Tarski Paradoxon existiert ein n (leider können wir das nicht beliebig wählen), so dass X in n Teilen X1, X2, …, Xn, zerlegt werden kann, so dass nach maßerhaltenden Tranformationen X1, X2, …, Xn eine Partition der Menge Y ist. Dann haben wir (in Anführungszeichen) „n Mal 1/n = µ(Y)“, obwohl µ(Y) ≠ 1.
Wenn man in mathematischen Kreisen das B-T-Paradoxon erwähnt, sagt man häufig, „man kann eine Kugel in Teile zerlegen und diese wieder zusammensetzen, ohne Dehnung oder Verzerrung, und 2 Kugeln herstellen“.
Die Antwort hier auf deine Frage lautet also u. U. JA.
An Gleichgesinnte, die sich vor Komplikationen erschrecken, hier eine zeitlose Message von Feynman https://youtu.be/GqvggMpJgL0 (0:00–0:38). Obwohl die Bemerkung im Kontext der Naturwissenschaft geäußert wird, ist sie schon relevant in Bezug auf Mathematik.
Ich übertrage das ins Deutsche!
Wörter und Begriffe haben sonst keine absolute Bedeutung, sie sind immer kontextabhängig. In einem formalen Problem muss man stets die Rahmen festlegen, und innerhalb dieser Rahmen die Begriffe sinnvoll deuten. Hier geht es um 2 Begriffe:
- ein Drittel von einem Ganzen: also, was Teilen bedeuten
- zusammensetzen: also, was Addieren bedeutet.
Um diese zu erleuchten, müssen wir wissen, was die Objekt sind, die wir teilen. Hier kommen u. A. zwei Arten von Rahmen in Frage: algebraische (die Objekt seien gewissermaßen Zahlen) und geometrische (die Objekte sind Körper mit Maß).
In einem algebraischen Rahmen kommt man nicht drum herum. Die Antwort auf deine Frage lautet NEIN: Teilen ist die Umkehrung von Multiplikation, sodass ein Drittel dasjenige Objekt (Zahl) ist, a, das 3·a =1 erfüllt. Zusammensetzen ist Addieren: 4 Drittel ist also a+a+a+a = 3·a + a = 1 + a, was niemals gleich 1 ist, außer im trivialen Falle.
In einem geometrischen Rahmen haben wir viel mehr Spielraum: Teilen kann man als Partitionieren (Zerlegen) von Körpern in Teile und Zusammensetzen als verzerrungsloses Bewegen/Rotieren der Teile, um einen (neuen) Körper zu bilden. Bei unserem Problem wollen wir nun einen Körper des Maßes 4/3 in 4 Teile zerlegen, und diese so zusammensetzen, dass sie einen Körper des Maßes 1 bestehen. Das klingt unmöglich. Doch dank des Banach-Tarski-Paradoxons ist sowas in der Art möglich. Leider können wir nicht kontrollieren aus wie vielen Teilen die Partitionen bestehen, aber für zwei beliebige Körper, X, Y (also die müssen irgendwie ordentlich sein, wie Kugeln oder Quadern oder übliche geometrische Objekte), auch wenn sie sich im Maße unterscheiden, kann man X in Teile partitionieren (zerlegen) und diese Teile ohne Verzerrung ihre Maße wieder zusammensetzen, um den Körper Y zu erzeugen.
Man muss das wirklich durch den Kopf ergehen lassen: wie kann es sein, dass ich X in X1,…,Xn partitioniere, diese Teile durch maßerhaltende Transformationen in Y1,…,Yn verwandele, die eine Partition von Y machen, wenn das Maß, µ(X), von X ungleich dem Maß, µ(Y), von Y ist? Dann hätten wir auf den ersten Blick wegen der Partitionen 1. µ(X) = µ(X1)+…+µ(Xn); 2. µ(Y) = µ(Y1)+…+µ(Yn) und wegen Maßerhaltung 3. µ(Y1) = µ(X1), …, µ(Yn) = µ(Xn), sodass 4. wegen 1,2,3 µ(X) = µ(Y), was der Voraussetzung widerspricht. Wie kann das sein? Das B-T-Paradoxon müsste falsch sein. Doch ist es nicht. Und der Grund dafür, dass dies keinen gültigen Einwand bildet, ist, dass 1 & 2 im Allgemeinen nicht gelten: ohne sich jetzt auf irgendwelche relativitätstheoretische Kenntnisse zu berufen, gilt die Summe der Maße der Teile ist manchmal größer als die Maße der Summe der Teile. (In RT verhält sich die Sache eher umgekehrt.)
Was heißt das? Der Einfachheit halber: wir können reintheoretisch 1L von einer Flüßigkeit in 4 komplexe Teile zerlegen, so dass theoretisch zusammengesetzt sie 4/3 L ergeben. Dann können wir quasi sagen, dass im Schnitt die Teile 1/3 L ausmachen, und dass 4 davon ursprünglich 1 L erzeugen.
* die Summe der Maße der Teile ist manchmal größer als das Maß der Summe der Teile
müsste es heißen. Ich wollte hier wirklich von Maßen (z. B. Volumen, etc.) und nicht nur Massen reden.
Lieber Fragesteller, hast Du etwas von dieser komplizierten Antwort verstanden??