Wie Schrödingergleichung lösen?
Ich hab schon gehört, dass es dich um eine komplizierte Differentialgleichung handelt, aber welche Mathematischen Themen muss man beherrschen können, um selbstständig Schrödingergleichungen lösen zu können. Das Thema Differentialgleichungen ist ja groß.
Bitte so genau wie möglich, welche mathematischen Fertigkeiten man sich dazu aneignen muss.
4 Antworten
Ich korrigiere dich hier ein wenig:
Die Schrödingergleichung per se ist eine sehr einfache Differnzialgleichung, deren Lösung aber etwas verwickelt werden kann.
Um beispielsweise die Schrödingergleichung für ein Wasserstoffatom zu lösen, muss man sich intensiv mit speziellen Funktionen beschäftigen; das wären
Bei Streuprozessen kommen hier noch die Bessel- und Hankelfunktionen dazu.
Der Grundgedanke ist sehr einfach: Man separiert die Differenzialgleichung in einen radialen, einen azimutalen und polaren Anteil, sucht die Eigenfunktionen dieser Teillösungen (dadurch ergeben sich Quantenzahlen) und setzt die allgemeine Lösung aus diesen zusammen.
Die intensive Beschäftigung nur mit diesen paar Funktionstypen machte in meinem Studium eine zweisemestrige Vorlesung aus - die anspruchsvollste im ganzen Studium.
Die klassische quantenmechanische Streutheorie war dann die Krönung - dagegen war das Wasserstoffatom ein Sonntagsspaziergang.
Üblicherweise sage ich das nicht leichtfertig - aber diese Thematik ist tatsächlich relativ anspruchsvoll.
Was studierst du denn? Würd mich mal interessieren wo man das behandelt:)
Psi(x;t) = Psi(0) * e^(ik x - iw t) ;
Schrödingergleichung (partielle Differentialgleichung)
Seperationsansatz: Psi(x;t) = phi(x) * e^(- i w t)
für das Wasserstoffatom wird V(r) = - e^2 / r gesetzt.
Nach einiger Rechenarbeit kommt man dann auf die Legendre-Polynome. Dabei ergeben sich dann ganzzahlige Zahlenwerte für die Lösung, die dann als Eigenschaften der Materiewelle des Elektrons interpretiert werden.
Genaueres kannst du nachlesen unter https://de.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dingergleichung
Als Kuriostät wäre noch anzumerken, dass auch nachdem die ersten Lösungen der Schrödingergleichung gefunden worden waren, nicht klar war, was die in ihr vorkommende Psifunktion eigentlich bedeutete. Dies gelang erst später dem Physiker Max Born, der die Quantenmechanik als geschlossenes mathematisches Modell darstellte, wofür er dann auch den Nobelpreis erhielt.
da das in den meisten Fällen nicht geschlossen lösbar ist: numerische Mathematik.
Geschlossen lösbar sind harmonische Oszillatoren und wasserstoffähnliche Systeme (zwei Ladungen, die als punktförmig betrachtet werden können - also auch hoch angeregte, aber gerade noch nicht ionisierte Atome).
Für Molekülorbitale etc. fällt mir als Erstes Hartree-Fock ein, es gibt aber noch andere derartige "selbstkonsistente" Verfahren - siehe dort.
"Numerische Mathematik" ist ein eigenes Fachgebiet, und in der Chemie noch einmal eine sehr umfangreiche Spezialisierung. Der interessanteste und schwierigste Teil ist, abzuschätzen, welche Näherung für welche Art von Problem brauchbar ist und warum bzw. warum sie unbrauchbar oder eben doch bedingt brauchbar ist.
die Werkzeuge
Computer. Orbitale sind als stabile Zustände ja Eigenfunktionen des Hamiltonoperators, mit der Energie als Eigenwert. Hinter der Denke steckt Hilberts unendlichdimensionaler Funktionenraum, der Funktionen auf Vektoren abbildet und Funktionsänderungen auf Operatoren. Aber die gekoppelten partiellen Diff.gleichungen sind meist nur numerisch zu berechnen bzw unter günstigen Randbedingungen auf sog. Kugelflächenfunktionen als Lösungen reduzierbar.
Vor 30 Jahren hätten das Schüler mit Mathe LK nach der 12. teilweise gekonnt.
Na wer weiß, alle Schüler kannte ich ja nicht und ich meine eher "Nachvollziehen" als "Lösen".
Partielle Differentialgleichung waren im Lehrplan des Lk Mathematik oder des Lk Physik zu keinem Zeitpunkt enthalten. Ich habe beide Leistungskursarten jahrelang unterrichtet.
Die mathematischen Anforderungen in Bezug auf das Lösen von Ansätzen von Bewegungsgleichungen sind im Lk Physik weitaus höher als im Lk Mathematik. Ich war der einzige Lehrer meiner Schule, der innerhalb von 35 Jahren beide Arten von Lk´s unterrichtet hatte. Außer mir gab es nur einen Kollegen, der ebenfalls regelmäßig den Lk Physik unterrichtete. Alle anderen fühlten sich dafür außer Stande.
Vor Allem im zweiten Halbjahr der 12. im Physik Lk hatten die Schüler einen Vorteil, die auch noch Mathe LK hatten (ich hatte Deutsch)
Im Mathe Lk kommen aber Lösungsansätze zu Bewegungsgleichungen praktisch nicht vor. Die Schüler des Physik Lk gehörten bei uns immer zu den besten 10% der Abiturienten. Es gab Kollegen (speziell ein Englisch-Lehrer) , die mir gestanden haben, dass sie mich um diese Schüler beneiden.
Ich weiß natürlich heute nicht mehr, was die Schüler eines anderen Kurses 1983 in Mathe hatten -
Kannst du bitte das genauer erklären. Was sind sozusagen die Werkzeuge um die Orbitale berechnen zu können?