Frage von Bolaking99, 92

Wie löst man solche Extremwertaufgaben?

Ich habe schon einige extremwertaufgaben gelöst aber bei dieser bekomme ich einfach keinen Ansatz hin.

Hier die Aufgabe: Aus einem Draht soll das Kantenmodell einer quadratischen Säule (http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung/modellfotos/2005-Juni-3-1/voll/DSC_...) hergestellt werden. Der Draht ist 36cm lang. Wie lang sind die Kanten zu wählen damit die Säule maximales Volumen hat?

Formel zum Volumen: abc

Kann mir da jmd zu einem Ansatz helfen?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 57

Die Formel a²b erlaubt, mit der Kantenmenge u = 4a + 8b eine Funktion mit einer Unbekannten zu basteln (z.B. a), die man dann ableiten kann, um Extremwerte zu bestimmen. Denn die gesamte Kantenlänge (36) ist ja gegeben.

Das Volumen ist dann nur noch die Funktion einer einzigen Kantenlänge.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 33

Hallo,

das Volumen der Säule berechnet sich aus a²*h.

Also: f(a,h)=a²*h

Nun mußt Du eine Variable durch die Nebenbedingung loswerden.

Die Nebenbedingeung ist die Gesamtlänge des Drahtes, die sich aus 8a+4h zusammensetzt:

8a+4h=36

Hier kannst Du alles durch 4 teilen:

2a+h=9

h=9-2a

Nun setzt Du 9-2a an Stelle von h in die Funktion f(x,h) ein und bekommst so:

f(x)=a²*(9-2a)=9a²-2a³

Um den Extremwert herauszufinden, bildest Du die erste Ableitung und setzt sie auf Null:

f'(x)=18a-6a²

(18a-6a²)=0

a*(18-6a)=0

a=0 oder a=3

Die erste Lösung ist unbrauchbar, während a=3 uns auf h=3 bringt,
weil h=9-2a, also 9-6=3.

Das größte Volumen besitzt die Säule demnach, wenn sie würfelförmig ist mit einer Kantenlänge von 3 cm.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Bolaking99 ,

Sehr hilfreich, ich hats mir bis zur Hälfte durchgelesen um dann selber weiterzurechnen unf komme auch auf das selbe Ergebnis. Danke :D

Kommentar von Volens ,

Mit der Zeit merkt man schon, dass es immer die regelmäßigen Figuren sind, die dann auch optimal werden. Aufpassen muss man eben nur, wenn wie bei dem bekannten Vorgartenbeispiel eine Seitenlänge durch eine Mauer oder so etwas eingenommen wird.

Antwort
von Peter42, 38

"quadratisch" bedeutet schon mal, dass a = b.

Und 36cm = 4a + 4b + 4c (mit a = b wird das dann zu 36cm = 8a + 4c, kann man umformen zu c = 9cm - 2a).

Und das Volumen (V = abc) soll maximal werden, mit a = b also V = ca^2. Da setzt man c ein und bekommt V = (9cm - 2a)a^2. Und dieses Gebilde als Funktion von a darfst du jetzt auf ein Maximum untersuchen. (und wirst vermutlich rausbekommen, dass c = a die Lösung ist).  

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