Wie löse ich dieses Gleichungssystem?

12a + 4b + c =0

48a + 8b + c =0

8a + 4b + 2c + d= 2,22

64a+ 16b + 4c + d= 1,78

Answer 1

[mihisu]

Da gibt es unterschiedliche Lösungsverfahren, beispielsweise das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren (bzw. auch das Gaußsche Eliminationsverfahren bzw. den Gauß-Jordan-Algorithmus, welche das Additionsverfahren nutzen)...

• https://de.wikipedia.org/wiki/Einsetzungsverfahren
• https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichsetzungsverfahren
• https://de.wikipedia.org/wiki/Additionsverfahren_(Mathematik)
• https://de.wikipedia.org/wiki/Gaußsches_Eliminationsverfahren
• https://de.wikipedia.org/wiki/Gauß-Jordan-Algorithmus

Das konkret in deiner Fragestellung gegebene Gleichungssystem kann man beispielsweise folgendermaßen mit einer Art Additionsverfahren lösen...

Ziel ist es dabei, durch geschickte Addition bzw. Subtraktion von (Vielfachen von) anderen Zeilen, zu erreichen, dass eine Unbekannte am Ende nur noch in einer Zeile vorkommt, diese Unbekannte also aus den anderen Zeilen zu eliminieren.

$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}\left[1_\text{a}\right] : &&12a & + & 4b & + & c &&& = & 0\\\left[2_\text{a}\right] : &&48a & + & 8b & + & c &&& = & 0\\\left[3_\text{a}\right] : &&8a & + & 4b & + & 2c & + & d & = & 2\text{,}22\\\left[4_\text{a}\right] : &&64a & + & 16b & + & 2c & + & d & = & 1\text{,}78\end{array}$

Von [4a] subtrahiere [3a]:

$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}\left[1_\text{a}\right] : &&12a & + & 4b & + & c &&& = & 0\\\left[2_\text{a}\right] : &&48a & + & 8b & + & c &&& = & 0\\\left[3_\text{a}\right] : &&8a & + & 4b & + & 2c & + & d & = & 2\text{,}22\\\left[4_\text{b}\right] : &&56a & + & 12b & & & & & = & -0\text{,}44\end{array}$

Von [3a] subtrahiere 2-mal [1a]. Von [2a] subtrahiere [1a].

$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}\left[1_\text{a}\right] : &&12a & + & 4b & + & c &&& = & 0\\\left[2_\text{b}\right] : &&36a & + & 4b &&&&& = & 0\\\left[3_\text{b}\right] : &&-16a & - & 4b &&& + & d & = & 2\text{,}22\\\left[4_\text{b}\right] : &&56a & + & 12b & & & & & = & -0\text{,}44\end{array}$

Von [1a] subtrahiere [2b]. Zu [3b] addiere [2b]. Von [4b] subtrahiere 3-mal [2b].

$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}\left[1_\text{b}\right] : &&-24a &&& + & c &&& = & 0\\\left[2_\text{b}\right] : &&36a & + & 4b &&&&& = & 0\\\left[3_\text{c}\right] : &&20a &&&&& + & d & = & 2\text{,}22\\\left[4_\text{c}\right] : &&-52a &&&&&&& = & -0\text{,}44\end{array}$

Dividiere [4c] durch -52. Dividiere [2b] durch 4.

$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}\left[1_\text{b}\right] : &&-24a &&& + & c &&& = & 0\\\left[2_\text{c}\right] : &&9a & + & b &&&&& = & 0\\\left[3_\text{c}\right] : &&20a &&&&& + & d & = & 2\text{,}22\\\left[4_\text{d}\right] : &&a &&&&&&& = & 0\text{,}00\overline{846153}\end{array}$

Zu [1b] addiere das 24-fache von [4d]. Von [2c] subtrahiere das 9-fache von [4d]. Von [3c] subtrahiere das 20-fache von [4d].

$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}\left[1_\text{c}\right] : &&&&&& c &&& = & 0\text{,}20\overline{307692}\\\left[2_\text{d}\right] : &&&& b &&&&& = & -0\text{,}07\overline{615384}\\\left[3_\text{d}\right] : &&&&&&&& d & = & 2\text{,}05\overline{076923}\\\left[4_\text{d}\right] : &&a &&&&&&& = & 0\text{,}00\overline{846153}\end{array}$

Damit ist das Gleichungssystem dann gelöst...

$\begin{array}{rcr} a & = & 0\text{,}00\overline{846153}\\b&=&-0\text{,}07\overline{615384}\\c&=&0\text{,}20\overline{307692}\\d&=&2\text{,}05\overline{076923}\end{array}$

Answer 2

[gauss58]

Es gibt verschiedene Methoden. Einfach wäre:

Rechne Gleichung (4) minus Gleichung (3) und nenne diese Gleichung (5), dann hast Du nur noch 3 Gleichungen mit den Unbekannten a, b und c.

Rechne Gleichung (5) minus 2 * Gleichung (2) sowie Gleichung (5) minus 2 * Gleichung (1) und Du hast 2 Gleichungen mit den Unbekannten a und b. Das solltest Du lösen können.

Answer 3

[MeeresZwerg]

Schau dir mal den Gauß Algorithmus bzw das Gauß Verfahren an