Wie löse ich das?
Hallo,
wie löse ich x^3 -4x-4=0 nach x auf ? Ich hatte so einen Fall noch nie ( kann auch sein dass meine ganze Rechnung neben der Spur war , aber wie macht man Sowas?
=0 ?
Ja
5 Antworten
Gleichungen dritten Grades lassen sich analytisch exakt mit den Cardanischen Formeln lösen:
Cardanische Formeln – Wikipedia
Weitere "Hilfsmittel" (die nicht bei allen Gleichungen funktionieren, aber wenn sie funktionieren, meistens deutlich schneller sind!) ist das Umschreiben der Gleichung in ein Nullstellen-Problem und ein anschließendes Überführen des kubischen Polynoms in das Produkt von zwei Polynomen niederer Potenz, mittels Ausklammern oder Polynomdivision (wobei bei Letzterer bereits eine Nullstelle bekannt sein muss - beispielsweise durch das Ausprobieren verschiedener Lösungen). Liegt der kubische Term dann faktorisiert vor, lassen sich einfach die Nullstellen beider Faktoren bestimmen.
Einen Term kann man nicht "auflösen", auflösen kann man nur wenn da ein "=" vorkommt. Ich gehe davon aus du meinst die Gleichung x³ - 4x - 4 = 0
Üblicherweise rät man in einem solchen Fall eine Nullstelle. Diese steckt wenn es eine ganzzahlige gibt als Faktor im Absolutglied, also hier der -4. Man probiert also 1, -1, 2, -2, 4 und -4. Die Mühe kannst du dir aber sparen, es gibt nur eine irrationale Nullstelle und zwei komplexe:
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
Da bleiben dann nur die
https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
die allerdings in der Anwendung ziemlich komplex sind.
Wenn das quadratische Glied fehlt, kann man die reduzierte Form der cardanischen Formel anwenden. Die ist nicht so kompliziert.
Am einfachsten ist in solchen Fällen eine graphische Lösung. Dazu lässt man die Funktion von einem Funktionsplotter zeichnen, wenn man nicht den Umweg über eine Kurvendiskussion und Wertetabelle gehen will. Das sieht dann so aus:
Da sieht man dann schon mal, dass es nur eine reelle Lösung gibt.
Die sehe ich mir in größerer Auflösung an:
..und stelle fest: die Lösung lautet in guter Näherung
x = 2,383
Probe:
2,383^3 - 4*2,383 - 4 = 0,0003
Die Abweichung beträgt also nur 0,03 % oder 3 Zehntausendstel. Das ist für die meisten Anwendungen hinreichend genau...und hat keine 5 Minuten gedauert.
( kann auch sein dass meine ganze Rechnung neben der Spur war
sollte die Fkt tatsächlich aus einer Rechnung von dir stammen ,also nicht aus einem Buch oder so , dann spricht viel dafür ,dass da was neben der Spur war.
Da man hier nicht mal eine Lösung durch Probieren findet und du wahrscheinlich keine Näherungsverfahren anwenden kannst , ist irgendwas falsch
x= 2,383....
Das kann man mit dem Newton'schen Näherungsverfahren lösen oder mit den Cardanischen Formeln