Wie lange braucht eine ausgelenkte Feder, um sich wieder zursammen zuziehen?
Also folgendes: An einer liegenden Feder ist eine Masse m angebracht. Dann zieht ihr an der Masse, sodass die Feder ausgelenkt wird. Wie lange dauert es nun, bis sich die Feder wieder zusammengezogen hat?
Also das Problem ist nämlich nun, dass ja die Beschleunigung a(s) = Ds/m ist, wobei s die Auslenkung der Feder, und D die Federkonstante ist. Jetzt weiß man ja auch, dass da(s)/dv(s) = dt(s) ist. v(s) = ssqt(m/D) Man kommt da halt drauf, weil ja die potentielle Energie der Masse, erzeugt durch die Feder, Ds²/2 ist. Energieerhaltung anwenden, und man kommt auf mv²/2 = Ds²/2 Daraus folgt dann v(s) = ssqrt(m/D) Somit ist dv(s) = sqrt(m/D)ds und da(s) = D/mds also ist dv(s)/da(s) = sqrt(m/D) = t(s) = const Nur ist mein Problem, dass sich ja die ds sofort rauskürzen, und man schon für eine unendlich kleine Strecke sqrt(m/D) an Zeit braucht, woraus folgt, dass ja auf die gesamte Auslenkung, welche ja unendlich oft ds beinhaltet, bezogen, die Zeit unendlich mal sqrt(m/D) sein müsste. Jetzt sieht man zwar, dass die Zeit nicht mehr von der Strecke abhängt, aber das kann doch irgendwie nicht sein. Denn wenn die Feder noch sehr gespannt ist, braucht es ja weniger Zeit um ds zurückzulegen, als wenn sie sich schon mehr zusammengezogen hat, einfach weil sie dann nicht mehr so stark zieht.
Wie kann man das rechnen?
3 Antworten
Ohne Reibung der Masse auf der Oberfläche folgt:
Fges = F_Feder = -k*u mit Auslenkung u vom "Ruhepunkt" der Feder
mit F = m*a
--> m*a = -k*u II*1/m
--> a = -(k/m)*u
Somit folgt mit: d²u/dt² = a
--> d²u/dt² = -(k/m)*u
bzw.
d²u/dt² + (k/m)*u = 0 homogene gewöhnliche DGL
Mit dem charakteristischen Polynom:
p(z) = z² + (k/m) --> z² = -(k/m) mit p(z) = 0
Somit folgen die Fundamentallösungen T(t) zu:
T1(t) = K*e^(t*i*sqr(k/m))
T2(t) = K*e^(-t*i*sqr(k/m))
Diese bilden eine vollständige Fundamentalbasis, wir können sie alternativ durch geeignete lineare Kombination umschreiben zu:
T1(t) = K*sin(t*sqr(k/m))
T2(t) = K*cos(t*sqr(k/m))
Sei nun w = sqr(k/m) , so folgt:
T1(t) = K*sin(t*w)
T2(t) = K*cos(t*w)
Die Lösungen unserer DGL für u(t) lautet also:
u(t) = K1*sin(wt) + K2*cos(wt)
Sei nun u(0) die Auslenkung zum Zeitpunkt t = 0, so folgt:
u(0) = K1*sin(w*0) + K2*cos(w*0) = K2
Damit also:
u(t) = u(0)*cos(wt) + K1*sin(wt)
Sei nun desweiteren die Geschwindigkeit zu Beginn der Beobachtung bei t = 0, 0, so folgt:
du/dt (t=0) = 0 = -u(0)*w*sin(w*0) + w*K1*cos(w*0)
Und damit folgt:
0 = w*K1 ---> K1 = 0
Wir erhalten also als engültige Lösung für die Auslenkung u = u(t) :
u(t) = u(0)*cos(wt)
Um zu berechnen, wann die Feder in ihrem "Ruhepunkt" angekommen ist, setzen wir:
u(t) = 0 <--- keine Auslenkung
Somit folgt:
u(t) = 0 = u(0)*cos(wt) ---> wt = (pi/2 + n*pi)
Und damit:
t(n) = (pi/2 + n*pi)/w = (pi/2 + n*pi)*sqr(k/m) , n = 0, 1, 2, ....
Es existieren also unendlich viele Zeitpunkte t = t(n) zu denen eine Auslenkung von 0 erreicht wird (die Feder hat sich wieder zusammengezogen).
Im dem Fall, dass eine Reibung berücksichtigt werden soll, wird das ganze etwas komplexer, so folgt die gesamte Kraft zu:
Fges = F_Feder + F_Reibung
F_Reibung = -C*du/dt (Annahme: Reibung ist Geschwindigkeitsabhängig)
F_Feder = -k*u
--> m*a = C*du/dt - k*u
Somit folgt die gewöhnliche homogene DGL zu:
m*d²u/dt² + C*du/dt + k*u = 0 II*1/m
d²u/dt² + (C/m)*du/dt + (k/m)*u = 0
Hier lautet dann das charakteristische Polynom p(z):
p(z) = z² + (C/m)*z + (k/m)*z
mit p(z) = 0 folgt dann mit der pq-Formel:
z(1|2) = -(C/m)*0.5 +/- sqr( (C²/(4m²)) - (k/m))
Damit also:
z(1) = -(C/m)*0.5 + sqr( (C²/(4m²)) - (k/m))
z(2) = -(C/m)*0.5 - sqr( (C²/(4m²)) - (k/m))
Die Fundamentallösungen T(t) folgen dann zu:
T1(t) = K*e^(-0.5*(C/m)*t)*e^(sqr( (C²/(4m²)) - (k/m))*t)
T2(t) = K*e^(-0.5*(C/m)*t)*e^(-sqr( (C²/(4m²)) - (k/m))*t)
An der Stelle müssten wir dann eine Fallunterscheidung betreiben, falls der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist oder nicht etc..
C²/(4m²)) - (k/m) > 0 ( --> sinh(wt) , cosh(wt) )
C²/(4m²)) - (k/m) = 0 ( Kritische Dämpfung !! aperiodischer Grenzfall)
C²/(4m²)) - (k/m) < 0 ( ---> sin(wt), cos(wt) ; abklingende Schwingungen)
Der Rest wird dann analog wie zuvor berechnet mit den Bedingungen:
u(t=0) = u(0)
du/dt (t=0) = 0
Anschließend löst man dann die Gleichung:
u(t) = 0
Wenn es hängen würde, wäre es in der Tat eine Schwingung, ja, aber ich habe ja geschrieben, dass das ganze liegt, da mit es nur eine einmalige Attrahierung gibt.
Ob es nun liegt oder hängt spielt keine Rolle. Ist die Feder einmal ausgelenkt, so wird sie, ohne Anwesenheit von Reibungseffekten, ewig harmonisch oszillieren (Sofern eine einmalige Auslenkung erfolgt, eine Zeitabhängige Triebkraft macht alles nur komplexer).
Es sollte eigentlich der Alltagserfahrung entsprechen, dass eine einmal kurz ausgelenkte Feder egal ob in liegendem oder aufrechten Zustand eine Schwingungsbewegung ausführt. Diese verliert in dem Fall nur Energie aufgrund von Reibungseffekten.
Veilleicht noch ein kurzes Wort zur Lösung einer homogenen DGL 2.Ordnung. Sie hat die Form:
x´´ + b*x´ + a*x = 0
Ich betrachte nur mal den Fall für b = 0:
--> x´´ + a*x = 0
Wir machen den Ansatz:
x(t) = e^(k*t) --> x´´(t) = k²*e^(k*t)
Also durch einsetzen erhalten wir:
(k² + a)*e(k*t) = 0 II *1/e^(k*t)
--> k² + a = 0
, die linke Seite bezeichnet man auch als charakteristisches Polynom:
p(k) = k² + a
Es ist einleuchtend, dass unser Ansatz die DGL erfüllt, falls die Gleichung:
k² + a = 0 erfüllt ist, so kommen wir schließlich auf das k.
Nun ist aber nicht nur e^(k*t) eine Lösung, sondern auch z*e^(k*t) mit z aus C.
Somit lautet eine allgemeine mögliche Lösung für x = x(t):
x(t) = z1*e^(sqr(-a)*t) + z2*e^(sqr(-a)*t)
Stellt sich heraus, dass diese Lösung eindeutig ist etc. etc., ist viel Theorie noch dahinter. Mit der Eulerschen Formel kannst du dann im Falle a > 0 zeigen:
e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x)
durch geeignetes Umschreiben von z1 und z2:
x(t) = u1*sin(sqr(a)*t) + u2*cos(sqr(a)*t)
Dahinter steckt im Endeffekt, dass für eine komplexe Zahl Z gilt:
(Z + Z^*)/2 = Re{ Z }
(Z - Z^*)/(2i) = Im{ Z }
wobei Z^* die komplex konjugierte zu Z meint.
Wenn dich die Theorie dahinter interessiert schau dir mal folgendes an:
https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung
http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest9/Lsg_linDGL_konstKoeff.html
Oder Stichworte für Google:
- "lineare gewöhnliche DGL"
- "lineare DGL"
- "lineare DGL 2. Ordnung"
...
Meine - vielleicht zu oberflächliche - Überlegung:
Die Federkraft vermindert sich proportional mit dem Weg (Hub). Damit vermindert sich auch entsprechend die Beschleunigung und auch die Geschwindigkeit der Masse.Wie soll man dann die Hubzeit ermitteln?
Also meiner Meinung nach ist sie ja konstant, also hängt nur von der Federkonstanten und von der Masse die gezogen wird, ab.
Also egal wie starkt du an der Masse ziehst, es dauert immer gleich lange, bis sie wieder zusammengezogen ist...
Da magst du wohl recht haben. Ich erinnere mich jetzt an das Feder - Masse- Verhalten bei einer Armbanduhr mit Ankerwerk, also mit sich wechselnd drehender, mit einer Spiralfeder belasteten Masse (die Unruh) als Zeitgeber. Dabei ändert sich die Taktfrequenz mit Änderung der Drehamplitude der Unruh nicht.
Und bei einem Pendel ist das auch so. Ob kleiner oder großer Ausschlag, die Frequenz bleibt gleich.
Wenn die Feder auf etwas liegt, dann wirkt bei jeder Bewegung auch Reibung.
Von deren Stärke hängt es ab, wie schnell eine Auslenkung wieder zurückgeht. Ohne weitere Information läßt sich die Frage nicht beantworten.
Es hat sich noch ein Tipp-Fehler eingeschlichen:
...
t(n) = (pi/2 + n*pi)/w = (pi/2 + n*pi)*sqr(k/m)
sollte eigentlich heißen:
t(n) = (pi/2 + n*pi)/w = (pi/2 + n*pi)*sqr(m/k)
da ja gilt: w = sqr(k/m)
--> 1/w = sqr(m/k)