Wie kann man den Hoch-, Tief- und Sattelpunkt bei der Aufgabe rechnerisch bestimmen? +eine Skizze anfertigen?
Guten Morgen,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe bitte weiterhelfen? Weiß nicht wie man das berechen kann.
d) f(x)=3x^3
3 Antworten
d.)
y = f(x) = 3 * x ^ 3
Ableitungen bilden :
f´(x) = 9 * x ^ 2
f´´(x) = 18 * x
f´´´(x) = 18
Hoch- und Tiefpunkte berechnen :
- Nullstellen der 1-ten Ableitung ermitteln
9 * x ^ 2 = 0 | : 9
x ^ 2 = 0 | √(...)
x_1 = - √(0) = 0
x_2 = √(0) = 0
- Die gefundenen Nullstellen der 1-ten Ableitung in die 2-te Ableitung einsetzen
f´´(x) = 18 * x
f´´(0) = 18 * 0 = 0
Weil f´´(0) = 0 ist gibt es an der Stelle x = 0 keine Tiefpunkte und auch keine Hochpunkte.
Wäre f´´(0) < 0 gewesen, dann hätte ein Hochpunkt vorgelegen, was aber nicht der Fall ist.
Wäre f´´(0) > 0 gewesen, dann hätte ein Tiefpunkt vorgelegen, was aber nicht der Fall ist.
Sattelpunkte berechnen :
- Bedingung : f´(x_s) = 0 und f´´(x_s) = 0 und f´´´(x_s) ≠ 0 wobei x_s die Stelle x ist, die auf einen Sattelpunkt hin untersucht wird.
Aus der vorherigen Rechnung wissen wir, dass die Nullstellen der 1-ten Ableitung bei x = 0 liegen, also f´(0) = 0 und dass auch f´´(0) = 0 ist.
Nun muss nur noch untersucht werden, ob f´´´(0) ≠ 0 ist.
f´´´(x) = 18
Das ist ungleich Null für alle x, also liegt an der Stelle x = 0 eine Sattelstelle.
Da du aber den Sattelpunkt berechnen sollst, und nicht nur die Sattelstelle, musst du x=0 noch in die Originalfunktion f(x) einsetzen um y zu erhalten.
y = f(x) = 3 * x ^ 3
y = f(0) = 3 * 0 ^ 3 = 0
Also liegt der Sattelpunkt bei (0 | 0)
Zuerst bildest Du, wenn es um Extrem- und Wendestellen geht die ersten drei Ableitungen.
An den Stellen, wo die erste Ableitung Null ist, ist möglicherweise eine Extremstelle (notwendige Bedingung).
Dann prüfst Du die zweite Ableitung an dieser Stelle; ist diese dort größer Null, liegt ein Tiefpunkt vor; ist sie dort kleiner Null, dann ist's ein Hochpunkt; ist sie dort gleich Null, dann könnte dort auch eine Wendestelle vorliegen (da die erste Ableitung auch Null ist, wäre das dann ein Sattelpunkt). Dazu muss man nun die dritte Ableitung prüfen. Ist sie ungleich Null (wie in diesem Fall), dann liegt tatsächlich an dieser Stelle ein Sattelpunkt vor. (Wäre diese Ableitung auch Null, müsste man mit den nächsten Ableitung weiter prüfen, aber das ist eher ungewöhnlich...)
Bilde die 1. und 2. Ableitung der Funktion und setze sie Null ! Das sollte aber eigentlich im Unterricht, auch wenn dieser bloß in Videoform existiert, dagestellt worden sein. Oder hast du etwa den Unterricht geschwänzt? Dann gilt: Wer zu spät kommt, den bestraft das Leben.
Nachträgliche Ergänzung aus meinem alten Unterrichtskonzept:
Meine Unterrichtskonzepte können unter
https://www.dropbox.com/sh/x56zbd1s9h9s199/AACTraaBO6hPukv2PMkjFB-_a?dl=0
als pdf-Dateien heruntergeladen werden.Sie sind frei kopierbar
Zum Verständnis ist das Lösen einer Aufgabe auch nicht geeignet. Das Verständnis erfolgt über die Herleitung des Zusammenhangs.
Ne das habe ich eigentlich nicht gemacht, verstehe es einfach so nicht?