Wie kann man begründen, dass ein bestimmter Hochpunkt H ein absoluter (globaler) Hochpunkt ist?
Ja... Ich versteh nicht, was mit der Aufgabe gemeint ist... Denn "begründen" in der Mathematik kann ja auch berechnen sein und damit beweisen, bzw. eben begründen...! Oder soll ich einen kleinen Text dazu schreiben? Denn ich habe schon alle Hoch-, Tief- und Wendepunkte berechnet...
Danke :D
5 Antworten
Du musst einfach alle Extrema bestimmen. Dann suchst du dir alle Hochpunkte aus und berechnest jeweils den Funktionswert in dem Punkt. Dann schaust du, welcher Hochpunkt den höchsten Funktionswert hat und damit hast du dein absolutes Maximum gefunden. Du musst nur aufpassen, dass die Funktion nicht eine Asymptote hat, die höher ist als der Funktionswert im Maximum. Denn die Asymptote taucht nicht bei deinen Extrema auf, kann aber trotzdem höher sein, als dein vermeintliches Absolutes Maximum.
Wenn du den einen Hochpunkt hast musst du letztlich beweisen, dass die Funktion an jeder anderen Stelle nur kleinere Funktionswerte annimmt.
Das geht je nach Funktion entweder direkt, z.B. indem du f(x) = [y-Wert von H] setzt und dann beim Lösen "merkst", dass [x-Wert von H] die einzige Lösung ist.
Oder eben auch, indem du alle anderen Hochpunkte berechnest und dann vergleichst.
A. Gut durchdachte Antwort von Comment0815, finde ich. Bleibt hinzuzufügen: Im von ihr/ihm beschriebenen Fall hat deine Funktion kein absolutes Maximum (bzw. Minimum).
Also ist genau auf die Fragestellung der Aufgabe zu achten: Wenn da steht, du sollst begründen, war ein Maximum ein absolutes ist, enthält die Frage bereits, dass es ein absolutes Maximum gibt. Dann entfällt diese (ansonsten fällige) Konvergenzüberlegung.
"(Schulmathematisch) übliche Verdächtige" für eine punktmindernde fiese Asymptote sind gebrochen rationale Funktionen mit auffällig gleichen höchsten Exponenten in Zähler und Nenner, wie etwa
y = (2x^4 -4x^2 +1) / (x^4+1)
( Maximum bei (0|1), geht aber -> 2 für x -> ±∞ )
B. zu Suboptimierer. ... könntest doch auch gleich sagen: Ist der höchste Exponent einer ganzrationalen Funktion geradzahlig, so hat sie immer entweder ein absolutes Maximum oder aber ein absolutes Minimum; ist er ungeradzahlig, so hat sie weder noch.
C. Eigener Beitrag: Funktionen mit Pol habe nie ein absolutes Extremum. Das Fahndungsfoto zeigt bekanntlich einen Nenner mit Nullstelle(n)... was für sich genommen aber nichts beweist, Gegenbeispiel (x² -4)/(x -2).
Allgemein bei Funktionen ist es schwierig. Bei Polynomen kann man das leicht über das Unendlichkeitsverhalten und dem Vergleich aller (lokalen) Hochpunkte begründen.
mit der 2. ableitung, die muss an der stelle einen vorzeichenwechsel haben
nein, das beweist nur ein extrema
aber man kann das mathematich beweisen, aber keine ahnung mehr wie
Na toll... :D
Auch schön, dass du deine Gedankengänge hier auslegst...! :'D