Wie kann man ausrechnen, an welcher Stelle auf der x-Achse der Höhepunkt der Sinusfunktion liegt?

Guten Tag,

Wie die Frage schon sagt, frage ich mich, wie oder ob man die Stelle ausrechnen kann, an der der Hochpunkt der Sinusfunktion auf der x-Achse liegt (auf der Skizze Punkt y)

Answer 1

[Applwind]

You mean Hochpunkt, right?

Man lege an der Sinusfunktion eine Tangente an und ermittle deren Steigung. An einem Hochpunkt ist die Steigung null. Das Steigungsverhalten von f, wird durch ihre Ableitungsfunktion f' beschrieben.

Es gilt f'(x) = 0. Es sind also die Nullstellen, der ersten Ableitung gesucht.

Aber aufgepasst, nicht nur bei einem Hochpunkt hat f einen waagrechte Tangente, sondern auch bei einem Tief und Sattelpunkt. Du musst also noch getrennt dazwischen "differenzieren".

Hierfür nimmt man am besten, die zweite Ableitung(für dich jetzt empfohlen). Gilt f''(x) < 0 so hast du einen HP an der Stelle.

Falls du die Ableitung vom Sinus benötigst, lässt sich dies einfach herleiten. Es ist:

$\lim\ h\rightarrow0\ \frac{\left(\sin\left(x+h\right)-\sin\left(x\right)\right)}{h}=\lim\ h\rightarrow0\ \frac{\left(\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(h\right)+\sin\left(h\right)\cdot\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)\right)}{h}=\lim\ h\rightarrow0\ \frac{\left(\sin\left(x\right)\left(\cos\left(h\right)-1\right)+\sin\left(h\right)\cdot\cos\left(x\right)\right)}{h}=\lim h\rightarrow0\ \frac{\left(\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(h\right)-1\right)}{h}+\frac{\left(\sin\left(h\right)\cdot\cos\left(x\right)\right)}{h}=\lim\ h\rightarrow0\ \sin\left(x\right)\cdot\frac{\left(\cos\left(h\right)-1\right)}{h}+\cos\left(x\right)\cdot\frac{\sin\left(h\right)}{h}=\lim h\rightarrow0\ 0+1\cdot\cos\left(x\right)=\cos\left(x\right)$

[Hinweis : Natürlich hätte man auch, die Faktoren außerhalb des Limes schreiben können. Die Grenzwerte lassen sich "manuell" ausrechnen.]

Woher ich das weiß: Hobby – Schüler.

Answer 2

[Schachpapa]

Hochpunkt!

Höhepunkt ist etwas anderes.

Comments

[PeterArnsberg]

Danke, habe es schon geändert.

Answer 3

[fjf100]

siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.

Kapitel,trigonometrische Funktionen

y=sin(x) und y=f(x)=cos(x) sind harmonische Schwingungen .

Diese Funktionen sind periodisch und deshalb sind auch Nullstellen,Maxima und Minima periodisch

y=sin(x)

Nullstellen bei x=k*pi mit k=0,1,2,3...

Extrema bei x=pi/2+k*pi mit k=0,11,2,3...

Wendepunkte x=k*pi mit k=0,1,2,3...

y=cos(x)

Nullstellen bei x=pi/2+k*pi mit k=0,1,2,3..

Extrema bei x=k*pi mit k=0,1,2,3...

Wendepunkte bei x=pi/2+k*pi mit k=0,1,2,3..



Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Answer 4

[Saharahxx]

Du leitest die Sinusfunktion ab und setzt die erste Ableitung gleich 0. Dann löst du nach x auf und hast alle Werte, für die der Graph ein (lokales) Maximum erreicht - die Sinus- und auch Cosinusfunktion hat nämlich unendlich viele. Wenn du ein bestimmtes Maximum herausfinden willst, musst du halt schauen, welcher x-Wert ins entsprechende Intervall passt

Comments

[Saharahxx]

Hab übrigens vergessen, dass man damit sowohl die Maxima als auch die Minima berechnet! Sorry, das hätte ergänzt werden müssen 😅

Answer 5

[Mathetrainer]

An meine Vorredner und vielleicht nachredner, die es noch werden wollen.

Der Hochpunkt einer in x-Richtung unverschobenen Sinuskurve liegt schlicht und ergreifend bei x=p/4 mit p=Periode= 2\pi/b. Fertig.