Wie kann ich sin x * cos x * tan x = 0.25 am besten nach x auflösen?
3 Antworten
sin x * cos x * tan x = sin²x
sin² x = 0.25
sin x = 0.5
Den Rest schaffst du selber
Also dass sin x * cos x * tan x = sin²x ist hätte ich nicht gewusst. Steht auch nicht in der Formelsammlung welches wir benutzen dürfen in der Prüfung. Dennoch gut zu wissen.
Naja, im Endeffekt kann man sich das ganz easy anhand der Definition des. Tangens klarmachen. Wegen tan=sin/cos ist sin * cos * tan nichts anderes als sin².
Hätte ich jetzt auch nicht auswendig "gewusst", ist mir beim Lesen der Frage aber direkt so in den Sinn gekommen.
Ok, wenn es zu trigonometrischen Identitäten und Theoremen kommt habe ich die Angewohnheit das sofort nachzuschlagen / zu googeln / zu recherchieren, anstatt etwas länger darüber nachzudenken.
Dafür braucht es keine Formelsammlung:
tan = sin / cos
daher cos * tan = cos * sin / cos = sin
und sin * sin ist eben sin²
Die Lösung von sin x = 0.5 ist aber irgendwie anders als die von dem anderen Kollegen oder täusche ich mich?
Wenn du nicht weißt, ob eine Lösung stimmt, dann mach doch einfach die Probe und setze die Lösung in die Angabe ein.
Eine sehr gute Frage. Ich würde fast vermuten, dass es nur numerisch geht.
Mein Computer-Algebra-System hat zwei Zahlen als Lösung raus, die jeweils für unendlich viele Zahlen stehen, was ja bei periodischen Funktionen normal ist, sogar als algebraische Lösung.
Was genau meinst du mit numerisch? Bei mir ist das eine Aufgabe im Mathebuch. Meine Vorgehensweise war, sin x auf die andere Seite zu bringen weil ich dachte cos x * tan x ja gleich sin x ist, aber das war anscheinend ein Fehler...
Numerisch ist geschicktes ausprobieren, algebraisch wäre durch echte Umformungsschritte. In der anderen Antwort findest Du eine gute Lösung. Ich muss meine Antwort auch noch kurz anpassen, da ich die Lösung des CAS falsch interpretiert habe.
Wenn man Wolfram Alpha fragt, dann bekommt man offenbart, dass :
sin(x) * cos(x) * tan (x) = (1 / 2) * (1 - cos(2 * x))
ist.
Also :
(1 / 2) * (1 - cos(2 * x)) = (1 / 4) | : (1 / 2)
1 - cos(2 * x) = (1 / 2)
(1 / 2) = cos(2 * x)
x = (1 / 2) * arccos(1 / 2)
Und wenn man jetzt noch bedenkt, dass trigonometrische Funktionen auch immer periodisch sind :
x = (1 / 2) * arccos(1 / 2) + n * pi
mit n Element der positiven und negativen Zahlen einschließlich der Null.
Ergänzung :
Weil (1 / 2) * arccos(1 / 2) = pi / 6 ist, vereinfacht sich das noch zu :
x = (pi / 6) + n * pi
Wolfram Alpha teilt mit, dass
x = - (pi / 6) + n * pi
ebenfalls Lösungen sind.
Ich kenne die trigonometrischen Theoreme nicht alle auswendig, weil es so verdammt viele davon gibt. Vielleicht sollte ich sie mir stattdessen mal aufschreiben, aber Wolfram Alpha geht schneller.
Ja, die CAS-Systeme sind meist mehr oder weniger alle gleich.
Ich wollte damit meine Bewunderung für Deinen Lösungsweg zum Ausdruck bringen. Aber irgendwie stimmen Dein Ergebnis und das von gfntom doch nicht überein, oder?
Ok, danke, weil mein CAS bei sin(x)=0.5 etwas anderes liefert,.
Das sehe ich ein, dennoch steht beim CAS dort eine Periode von 2PI, was beim Sinus auch Sinn macht. In der ersten Lösung und bei Dir ist die Periode nur PI.
Schau mal hier :
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29+*+cos%28x%29+*+tan+%28x%29+%3D+%281+%2F+4%29
Glückwunsch, dass du diese Identität auswendig gewusst hast xD